Elektrisk potensial og spenning

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Potensial: energi per ladning

Den potensielle energien \(U\) avhenger av hvor stor ladning \(Q\) vi flytter. Deler vi på ladningen, får vi en størrelse som bare beskriver stedet:

Definisjon: Elektrisk potensial

Elektrisk potensial er potensiell energi per ladning: \[ V = \frac{U}{Q} \qquad\Rightarrow\qquad \Delta V = \frac{\Delta U}{Q} \] Enheten er volt: \([V] = \mathrm{J/C} = \mathrm{V}\).

Forholdet mellom potensial og potensiell energi er det samme som mellom felt og kraft: \(\vec E = \vec F/Q\) og \(V = U/Q\). Feltet og potensialet beskriver hva ladningene gjør med rommet, uavhengig av hvilken ladning vi plasserer der.

Potensialforskjell fra feltet

Fra \(W = -\Delta U\) og \(\vec F = Q\vec E\) har vi da

\[ \Delta V = \frac{\Delta U}{Q} = -\frac1Q\int_A^B\vec F\cdot\mathrm{d}\vec r = -\int_A^B\vec E\cdot\mathrm{d}\vec r \]

Om vi nå setter \(A\) til referansepunktet uendelig langt unna og \(B = r\), får vi det vi kaller spenning (potensialet i punktet \(\vec r\)):

\[ V(\vec r) = -\int_\infty^{r}\vec E\cdot\mathrm{d}\vec r \]

Potensialet fra en punktladning

For en punktladning \(q\) får vi nå

\[ V(r) = k\frac{q}{r} \]

Utregningen: feltet peker radielt, \(E = kq/r^2\), så \[ V(r) = -\int_\infty^{r} k\frac{q}{r'^2}\,\mathrm{d}r' = -\left[-k\frac{q}{r'}\right]_\infty^{r} = k\frac{q}{r} \] Potensialet avtar som \(1/r\), mens feltet avtar som \(1/r^2\). Potensialet fra flere ladninger er summen av potensialene fra hver ladning, \(V = k\sum q_i/r_i\), og fordi \(V\) er et tall og ikke en vektor, er det mye enklere å legge sammen enn felt.

Homogent felt

Mellom to parallelle plater er feltet konstant. Da er potensialforskjellen mellom platene

\[ \Delta V = E\,d \]

der \(d\) er avstanden mellom platene. Dette gir også en ny enhet for feltet: \(\mathrm{N/C} = \mathrm{V/m}\).

Eksempler

Eksempel: Energi fra batterier. (Eksempel 7.4 i OpenStax University Physics, bind 2, CC BY 4.0.) Et \(12{,}0\ \mathrm{V}\) motorsykkelbatteri kan flytte \(5000\ \mathrm{C}\) ladning, og et \(12{,}0\ \mathrm{V}\) bilbatteri kan flytte \(60\,000\ \mathrm{C}\). Hvor mye energi kan hvert av dem levere?

Fra definisjonen av potensial: \[ \Delta V = \frac{\Delta U}{Q} \quad\Rightarrow\quad \Delta U = \Delta V\cdot Q \] Husk at \(12\ \mathrm{V} = 12\ \mathrm{J/C}\).

Batteri 1: \(\Delta U_1 = 12{,}0\ \mathrm{V}\cdot5000\ \mathrm{C} = \underline{\underline{6{,}00\cdot10^{4}\ \mathrm{J}}}\)

Batteri 2: \(\Delta U_2 = 12{,}0\ \mathrm{V}\cdot60\,000\ \mathrm{C} = \underline{\underline{7{,}20\cdot10^{5}\ \mathrm{J}}}\)

Spenningen er den samme, men bilbatteriet kan flytte tolv ganger så mye ladning og leverer derfor tolv ganger så mye energi.

Eksempel: Elektroner gjennom en frontlykt. (Eksempel 7.5 i OpenStax.) Et \(12{,}0\ \mathrm{V}\) bilbatteri driver en frontlykt på \(30{,}0\ \mathrm{W}\). Hvor mange elektroner går gjennom lykta hvert sekund?

1. Vi trenger sammenhengen mellom ladning, spenning og arbeid: \[ \left.\begin{aligned}\Delta U &= q\,\Delta V\\ \Delta U &= -W\end{aligned}\right\}\quad\Rightarrow\quad q = -\frac{W}{\Delta V} \]

2. Hva er så \(W\)? Effekt er arbeid per tid: \[ P = \frac{W}{t} \quad\Rightarrow\quad W = P\cdot t = 30{,}0\ \mathrm{W}\cdot1{,}00\ \mathrm{s} = 30{,}0\ \mathrm{J} \]

3. Mengden ladning gjennom lykta på ett sekund: \[ q = -\frac{W}{\Delta V} = -\frac{30{,}0\ \mathrm{J}}{12{,}0\ \mathrm{V}} = -2{,}50\ \mathrm{C} \] Hvert elektron har ladningen \(-\mathrm{e}\), så antallet er \[ n = \frac{q}{-\mathrm{e}} = \frac{-2{,}50\ \mathrm{C}}{-1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}} = \underline{\underline{1{,}56\cdot10^{19}}} \]

Alternativ utregning (for den som kjenner \(P = VI\)): Med \(P = VI\) og \(P = W/t\) er \(W = VIt = Vq\), så \[ q = \frac{W}{V} = 2{,}50\ \mathrm{C} \quad\Rightarrow\quad n = 1{,}56\cdot10^{19} \]

Eksempel: Fra potensiell til kinetisk energi. (Eksempel 7.6 i OpenStax.) Finn farten til et fritt elektron som akselereres fra ro gjennom en potensialforskjell på \(100\ \mathrm{V}\).

Energien er bevart. Elektronet taper potensiell energi \(|\Delta U| = \mathrm{e}\,\Delta V\), og den blir til kinetisk energi: \[ \tfrac12 m_\mathrm{e}v^2 = \mathrm{e}\,\Delta V \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\mathrm{e}\,\Delta V}{m_\mathrm{e}}} \] \[ v = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\cdot100\ \mathrm{V}}{9{,}11\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}}} \approx \underline{\underline{5{,}93\cdot10^{6}\ \mathrm{m/s}}} \] Det er omtrent \(2\ \%\) av lysfarten, etter bare \(100\ \mathrm{V}\). Energien \(\mathrm{e}\cdot1\ \mathrm{V} = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}\) kalles ett elektronvolt (\(1\ \mathrm{eV}\)), så elektronet her har fått \(100\ \mathrm{eV}\).

(Eksempel 7.7 i OpenStax University Physics, bind 2, CC BY 4.0. «Gjør selv!») Tørr luft tåler et elektrisk felt på omtrent \(3{,}0\cdot10^{6}\ \mathrm{V/m}\). Over det blir lufta ionisert og leder strøm, og det slår gnister. Hva er den høyeste spenningen vi kan ha mellom to parallelle plater med \(2{,}5\ \mathrm{cm}\) avstand i tørr luft?

Feltet mellom platene er homogent, så \(\Delta V = Ed\): \[ \Delta V_\mathrm{maks} = 3{,}0\cdot10^{6}\ \mathrm{V/m}\cdot0{,}025\ \mathrm{m} = \underline{\underline{7{,}5\cdot10^{4}\ \mathrm{V}}} \] \(75\ \mathrm{kV}\) høres mye ut, men en gnist på et par centimeter etter at du har gått på et teppe, betyr nettopp at du har vært ladet opp til titusener av volt.

Ladningen \(q_1 = +4{,}0\ \mathrm{nC}\) ligger i \(x = 0\) og \(q_2 = -2{,}0\ \mathrm{nC}\) ligger i \(x = 0{,}40\ \mathrm{m}\).

a) Finn potensialet i \(x = 0{,}20\ \mathrm{m}\).
b) Hvor stort arbeid gjør det elektriske feltet når en ladning \(Q = +1{,}0\ \mathrm{nC}\) flyttes fra uendelig langt unna til dette punktet?

a) Potensialene legges sammen som tall: \[ V = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 8{,}99\cdot10^{9}\left(\frac{4{,}0\cdot10^{-9}}{0{,}20} + \frac{-2{,}0\cdot10^{-9}}{0{,}20}\right)\mathrm{V} \approx \underline{\underline{90\ \mathrm{V}}} \] b) \(\Delta U = Q\,\Delta V = 1{,}0\cdot10^{-9}\cdot(90 - 0)\ \mathrm{J} = 9{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{J}\), og feltet gjør arbeidet \[ W = -\Delta U = \underline{\underline{-9{,}0\cdot10^{-8}\ \mathrm{J}}} \] Arbeidet er negativt: Vi må dytte den positive ladningen inn mot et område med høyere potensial.

I en elektronkanon akselereres elektroner fra ro mellom to plater med \(\Delta V = 2{,}0\ \mathrm{kV}\) og avstand \(d = 1{,}0\ \mathrm{cm}\).

a) Hvor sterkt er feltet mellom platene?
b) Hvor stor kinetisk energi (i eV og J) og fart har elektronene når de kommer ut?

a) \(E = \dfrac{\Delta V}{d} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{3}\ \mathrm{V}}{0{,}010\ \mathrm{m}} = \underline{\underline{2{,}0\cdot10^{5}\ \mathrm{V/m}}}\)

b) \(E_K = \mathrm{e}\,\Delta V = \underline{\underline{2{,}0\ \mathrm{keV}}} = 2{,}0\cdot10^{3}\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{J} = \underline{\underline{3{,}2\cdot10^{-16}\ \mathrm{J}}}\) \[ v = \sqrt{\frac{2E_K}{m_\mathrm{e}}} = \sqrt{\frac{2\cdot3{,}2\cdot10^{-16}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{2{,}7\cdot10^{7}\ \mathrm{m/s}}} \] Legg merke til at farten ikke avhenger av avstanden \(d\), bare av spenningen.