Luftmotstand, terminalfart og Eulers metode

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Luftmotstand

Når noe beveger seg gjennom lufta, virker luftmotstanden mot bevegelsen. For de fleste hverdagslige farter er den godt beskrevet av

\[ F_D = \tfrac12\,C\rho A\,v^2 \]

Symbol Betyr
\(C\) motstandskoeffisient (dimensjonsløs, \([C] = 1\)), avhenger av formen
\(\rho\) lufttettheten, ca. \(1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\)
\(A\) frontarealet, arealet legemet «viser» mot fartsretningen
\(v\) farten

Legg merke til \(v^2\): dobbelt så stor fart gir fire ganger så stor luftmotstand.

Terminalfart

Et legeme som faller, øker farten til luftmotstanden er like stor som tyngden. Da er \(\sum F = 0\), akselerasjonen er null, og farten holder seg konstant. Dette er terminalfarten: \[ F_D = G \quad\Rightarrow\quad \tfrac12 C\rho A v_t^2 = m\mathrm{g} \quad\Rightarrow\quad v_t = \sqrt{\frac{2m\mathrm{g}}{C\rho A}} \]

Eksempel: Kule. En kule med masse \(5\ \mathrm{kg}\) og radius \(R = 10\ \mathrm{cm}\) faller mot jorda. \(C = 0{,}45\) og \(\rho = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\). Frontarealet er en sirkel, \(A = \pi R^2\): \[ v_t = \sqrt{\frac{2\cdot5\ \mathrm{kg}\cdot9{,}81\ \mathrm{m/s^2}}{0{,}45\cdot1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\cdot\pi(0{,}10\ \mathrm{m})^2}} \approx 76\ \mathrm{m/s} \approx 2{,}7\cdot10^2\ \mathrm{km/h} \]

Numerisk løsning med Eulers metode

Hvordan endrer farten seg på veien mot terminalfarten? En person faller ut av et fly. Med positiv retning nedover gir Newtons 2. lov \[ G - F_D = m a \quad\Rightarrow\quad m\mathrm{g} - \tfrac12 C\rho A\,v^2 = m\,\dot v \] Her er \(\dot v = \mathrm{d}v/\mathrm{d}t\). Newtons 2. lov er altså en differensiallikning:

\[ \dot v = \mathrm{g} - K v^2, \qquad K = \frac{C\rho A}{2m}, \qquad v(0) = 0 \]

Eulers metode løser likninger på formen \(y'(x) = f(x, y)\) med kjent startverdi. Vi deler tiden i små steg \(h\) og bruker at den deriverte er omtrent \(\dot v \approx \dfrac{v_{n+1} - v_n}{h}\). Det gir oppskriften \[ v_{n+1} = v_n + h\left(\mathrm{g} - Kv_n^2\right) \] Vi starter med \(v_0 = 0\) og regner ut \(v_1\), så \(v_2\), og så videre. Med \(C = 0{,}45\), \(A = 0{,}5\ \mathrm{m^2}\), \(\rho = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}\) og \(m = 80\ \mathrm{kg}\):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

g, C, A, rho, m = 9.81, 0.45, 0.5, 1.2, 80
K = C*rho*A/(2*m)
h = 0.1                      # tidssteg i sekunder
t = np.arange(0, 30, h)
v = np.zeros(len(t))
for n in range(len(t) - 1):
    v[n+1] = v[n] + h*(g - K*v[n]**2)

v_t = np.sqrt(g/K)
print(f"Terminalfart: {v_t:.1f} m/s")
plt.plot(t, v, label="v(t), Euler")
plt.axhline(v_t, ls="--", color="r", label="terminalfart")
plt.xlabel("t [s]"); plt.ylabel("v [m/s]"); plt.legend(); plt.show()

Farten øker raskt i starten (akselerasjonen er nesten \(\mathrm{g}\)) og flater ut mot \(v_t \approx 76\ \mathrm{m/s}\). Akselerasjonen går tilsvarende fra \(\mathrm{g}\) mot null.

Prøv selv

Endre h til 1.0 og se hva som skjer. Eulers metode blir mer nøyaktig jo mindre tidssteget er, men da må datamaskinen regne flere steg.

To fallskjermhoppere med masse \(m = 70\ \mathrm{kg}\) faller fra samme høyde. A faller med hodet først (\(A = 0{,}17\ \mathrm{m^2}\), \(C = 0{,}70\)). B faller liggende (\(A = 1{,}0\ \mathrm{m^2}\), \(C = 1{,}0\)). Bruk \(\rho = 1{,}29\ \mathrm{kg/m^3}\).

  1. Finn terminalfarten for A og B.

  2. En Python-funksjon skal regne ut luftmotstanden. Hva skal stå på linja med ?

def drag(A, C, v):
    rho = 1.29
    k = 0.5*rho*A*C
    ?
  1. Bruk Eulers metode med \(\Delta t = 0{,}10\ \mathrm{s}\) til å finne tiden det tar før hopperne har nådd 98 % av terminalfarten, og hvor langt de har falt da.

a) Fra \(v_t = \sqrt{2m\mathrm{g}/(C\rho A)}\): \[ v_{t,A} = \sqrt{\frac{2\cdot70\cdot9{,}81}{0{,}70\cdot1{,}29\cdot0{,}17}}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{95\ \mathrm{m/s}}}, \qquad v_{t,B} = \sqrt{\frac{2\cdot70\cdot9{,}81}{1{,}0\cdot1{,}29\cdot1{,}0}}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{33\ \mathrm{m/s}}} \]

b) return k*v**2, som er \(\frac12\rho A C v^2\).

c) 

import numpy as np

def drag(A, C, v):
    rho = 1.29
    k = 0.5*rho*A*C
    return k*v**2

g, m, dt = 9.81, 70, 0.10
for navn, A, C in [("A", 0.17, 0.70), ("B", 1.0, 1.0)]:
    v_t = np.sqrt(2*m*g/(C*1.29*A))
    t, v, y = 0.0, 0.0, 0.0
    while v < 0.98*v_t:
        a = g - drag(A, C, v)/m
        y += v*dt
        v += a*dt
        t += dt
    print(f"{navn}: 98 % av {v_t:.0f} m/s etter {t:.1f} s, falt {y:.0f} m")

A bruker ca. \(22\ \mathrm{s}\) og faller ca. \(1{,}5\ \mathrm{km}\); B bruker ca. \(7{,}5\ \mathrm{s}\) og faller ca. \(170\ \mathrm{m}\). (Svarene avhenger litt av hvordan du oppdaterer \(y\) og \(v\) i løkka.)