Bevegelse i to dimensjoner: skrått kast

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Når noe beveger seg i et plan, for eksempel en ball som kastes, er banen krum. Da bruker vi vektorer. Trikset er å dekomponere: vi deler bevegelsen i en \(x\)-del og en \(y\)-del og behandler dem hver for seg. \[ \vec s(t) = [x(t),\ y(t)], \qquad \vec v(t) = [x'(t),\ y'(t)], \qquad \vec a(t) = [x''(t),\ y''(t)] \]

Konstant akselerasjon i to retninger

Er akselerasjonen konstant, gjelder bevegelseslikningene i hver retning for seg:

\(x\)-retning \(y\)-retning
\(x = x_0 + v_{0x}\,t + \tfrac12 a_x t^2\) \(y = y_0 + v_{0y}\,t + \tfrac12 a_y t^2\)
\(v_x = v_{0x} + a_x t\) \(v_y = v_{0y} + a_y t\)

Skrått kast

Uten luftmotstand er tyngdekraften den eneste kraften. Den virker bare loddrett. Med \(x\)-aksen vannrett og \(y\)-aksen oppover blir \[ a_x = 0, \qquad a_y = -\mathrm{g} \] Det betyr:

  • Vannrett går legemet med konstant fart: \(v_x = v_{0x}\) hele tiden.
  • Loddrett er det fritt fall med startfart \(v_{0y}\).

De to bevegelsene påvirker ikke hverandre. Det kalles uavhengighetsprinsippet.

Startfarten dekomponeres som en vanlig vektor: \(v_{0x} = v_0\cos\theta\) og \(v_{0y} = v_0\sin\theta\). På toppen av banen er \(v_y = 0\), og hastigheten er bare vannrett.

Fire steg som alltid virker

  1. Dekomponer bevegelseslikningene i \(x\)- og \(y\)-retning. Skriv opp hva du vet (\(a_x = 0\), \(a_y = -\mathrm{g}\), startfarter).
  2. Finn tiden fra den retningen der du har nok opplysninger, som oftest \(y\)-retningen.
  3. Bruk tiden i den andre retningen.
  4. Sett sammen og løs.

Eksempel: Stuperen. En stuper hopper vannrett ut fra en klippe. Et utspring med bredde \(d = 1{,}75\ \mathrm{m}\) ligger \(h = 9{,}00\ \mathrm{m}\) under toppen. Hvor stor vannrett fart \(v_0\) må stuperen minst ha for å komme klar av utspringet?

1. Dekomponer. Startfarten er vannrett, så \(v_{0x} = v_0\) og \(v_{0y} = 0\). Med origo på toppen: \[ x(t) = v_0 t, \qquad y(t) = -\tfrac12 \mathrm{g} t^2 \] To likninger og to ukjente (\(v_0\) og tiden).

2. Finn tiden fra \(y\)-retningen. Stuperen er nede på utspringets høyde når \(y = -h\): \[ -h = -\tfrac12 \mathrm{g} T^2 \quad\Rightarrow\quad T = \sqrt{\frac{2h}{\mathrm{g}}} \]

3. Finn farten fra \(x\)-retningen. På tiden \(T\) må stuperen ha kommet minst \(d\) ut: \(d = v_0 T\), så \(v_0 = d/T\).

4. Sett sammen: \[ v_0 = \frac{d}{\sqrt{2h/\mathrm{g}}} = \frac{1{,}75\ \mathrm{m}}{\sqrt{2\cdot9{,}00\ \mathrm{m}/9{,}81\ \mathrm{m/s^2}}} \approx \underline{\underline{1{,}3\ \mathrm{m/s}}} \]

Legg merke til

Falltiden avhenger bare av høyden, ikke av den vannrette farten. En kule som slippes, og en kule som skytes vannrett ut fra samme høyde, treffer bakken samtidig.

Hvor langt går et kast?

Et legeme kastes med fart \(v_0\) i vinkelen \(\theta\) over vannrett. Hvor treffer det bakken, og hvilken vinkel gir lengst kast?

Fra \(x\)-retningen: \(x = v_0\cos\theta\cdot t\), så \(t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}\). Dette setter vi inn i \(y\)-likningen: \[ y = v_0\sin\theta\cdot t - \tfrac12 \mathrm{g} t^2 = x\tan\theta - \frac{\mathrm{g}\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta} \] Dette er likningen for banen: en parabel. Lander legemet på samme høyde som det ble kastet fra (\(y = 0\)), får vi kastlengden \[ x = \frac{2v_0^2}{\mathrm{g}}\sin\theta\cos\theta = \frac{v_0^2}{\mathrm{g}}\sin 2\theta \] Den er størst når \(\sin 2\theta = 1\):

På flat mark gir \(\theta = 45^\circ\) lengst kast (uten luftmotstand).

En ball ruller utfor en bordkant \(0{,}80\ \mathrm{m}\) over gulvet og treffer gulvet \(0{,}85\ \mathrm{m}\) fra bordkanten (målt vannrett). Hvor stor fart hadde ballen da den forlot bordet?

1. Ved \(t = 0\) er \(v_{0y} = 0\) og \(\vec v_0 = v_{0x}\,\hat x\). Akselerasjonen er \(a_y = -\mathrm{g}\) og \(a_x = 0\).

2. Vi finner tiden \(t^*\) til ballen treffer gulvet (\(y = 0\)) fra \(y = y_0 + v_{0y}t + \frac12 a_y t^2\) med \(v_{0y} = 0\): \[ t^* = \sqrt{\frac{2(y - y_0)}{a_y}} = \sqrt{\frac{2(0 - 0{,}80\ \mathrm{m})}{-9{,}81\ \mathrm{m/s^2}}} \approx 0{,}404\ \mathrm{s} \]

3. I \(x\)-retning er farten konstant, så \(v_{0x} = x^*/t^*\): \[ v_{0x} = \frac{0{,}85\ \mathrm{m}}{0{,}404\ \mathrm{s}} \approx 2{,}1\ \mathrm{m/s} \]

4. Startfarten er \(v_0 = v_{0x} \approx \underline{\underline{2{,}1\ \mathrm{m/s}}}\).

Hvor stor er den totale farten til stuperen i eksempelet over idet hun treffer vannet ved foten av utspringet?

Vannrett er farten fortsatt \(v_x = v_0 \approx 1{,}29\ \mathrm{m/s}\). Loddrett har stuperen falt i tiden \(T = \sqrt{2h/\mathrm{g}} \approx 1{,}35\ \mathrm{s}\), så \[ v_y = -\mathrm{g}T \approx -13{,}3\ \mathrm{m/s} \] Den totale farten er lengden av hastighetsvektoren: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1{,}29^2 + 13{,}3^2}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{13\ \mathrm{m/s}}} \] Nesten all farten er loddrett.

To kanoner med munning i samme punkt på bakken avfyres samtidig. De skyter kuler med samme startfart, men i ulik vinkel. Den grønne skyter brattere mot blink A, den blå flatere mot blink B. Blinkene står på bakkenivå. Se bort fra luftmotstand. Hvilke påstander er riktige?

  • A. Den grønne kanonen treffer blink A først.
  • B. Den blå kanonen treffer blink B først.
  • C. Blinkene treffes samtidig.
  • D. Den blå kula treffer med større fart enn den grønne.
  • E. Kulene treffer blinkene med samme fart.

Tiden: Begge har samme loddrette akselerasjon \(\mathrm{g}\). Fra \(y(t) = v_{0y}t - \frac12\mathrm{g}t^2 = 0\) får vi \(t = 2v_{0y}/\mathrm{g}\). Den grønne har størst \(v_{0y}\), går høyest og er lengst i lufta. Den blå treffer først: B er riktig.

Farten: Uten luftmotstand er energien bevart. Begge starter på samme høyde med samme fart, og lander på samme høyde. Da er \[ \tfrac12 m v_1^2 = \tfrac12 m v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_1 = v_2 \] E er riktig. Riktige påstander: B og E.

En fjærkanon skyter en kule med startfart \(v_0 = 4{,}0\ \mathrm{m/s}\) mot en blink som ligger \(x = 1{,}5\ \mathrm{m}\) unna vannrett og \(0{,}40\ \mathrm{m}\) under munningen (\(y = -0{,}40\ \mathrm{m}\), med \(y\) positiv oppover).

  1. Skriv kravet om at kula treffer blinken som en likning \(f(\alpha) = 0\) for utskytingsvinkelen \(\alpha\).

  2. Finn vinkelen(e) numerisk med fsolve.

a) Banelikningen fra teorien over gir \[ y = x\tan\alpha - \frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} \] Vi flytter alt over på én side: \[ f(\alpha) = y + \frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} - x\tan\alpha = 0 \]

b) Likningen har to løsninger: en flat og en bratt bane. fsolve finner den som ligger nærmest startgjetningen, så vi prøver to gjetninger:

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

g, v0, x, y = 9.81, 4.0, 1.5, -0.40

def f(alfa):
    return y + g*x**2 / (2*v0**2*np.cos(alfa)**2) - x*np.tan(alfa)

for gjett in [0.1, 1.2]:          # radianer: en flat og en bratt gjetning
    alfa = fsolve(f, gjett)[0]
    print(f"alfa = {np.degrees(alfa):.1f} grader")

Svar: \(\alpha \approx \underline{\underline{12^\circ}}\) eller \(\alpha \approx \underline{\underline{63^\circ}}\).