5.7 Ekstraoppgaver

Kapittel 5: Arbeid og energi

Her er flere oppgaver fra temaene vi har behandlet i dette kapitlet.

Arbeid eller ikke?

Avgjør om kraften i hvert av tilfellene under gjør et positivt, negativt eller null arbeid. Begrunn svarene.

  1. Du holder en tung sekk stille over hodet. (Kraften fra armene dine på sekken.)

  2. Du bærer sekken bortover et flatt gulv med konstant fart. (Kraften fra armene dine, som peker rett opp.)

  3. Du løfter sekken opp fra gulvet. (Kraften fra armene dine.)

  4. En bil bremser. (Friksjonskraften fra veien på bilen.)

  5. En satellitt går i sirkelbane rundt jorda. (Tyngdekraften på satellitten.)

Arbeid krever både en kraft og en forflytning med en komponent langs kraften: \(W = F\cdot s\cdot\cos\theta\).

a) Null. Sekken flytter seg ikke, så \(s = 0\). (Musklene dine blir slitne, men det skyldes prosesser inne i kroppen, ikke arbeid på sekken.)

b) Null. Kraften peker rett opp, mens forflytningen er horisontal. Vinkelen er \(90^\circ\), så \(\cos\theta = 0\).

c) Positivt. Kraften og forflytningen peker begge oppover (\(\theta = 0^\circ\)). Arbeidet øker den potensielle energien til sekken.

d) Negativt. Friksjonskraften peker bakover, mens bilen beveger seg fremover (\(\theta = 180^\circ\)). Arbeidet reduserer den kinetiske energien til bilen.

e) Null. I en sirkelbane peker tyngdekraften inn mot jordas sentrum, mens bevegelsen hele tiden går langs sirkelen. Kraften står vinkelrett på bevegelsen, så farten til satellitten endrer seg ikke.

Fjærkanon

En leketøyskanon har en fjær med fjærkonstant \(k = 500\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\). Fjæra presses sammen \(x = 8.0\,\mathrm{cm}\), og kanonen skyter en kule med masse \(m = 50\,\mathrm{g}\) rett opp. Se bort fra luftmotstand og fra den lille høydeendringen mens fjæra strekker seg ut.

  1. Hvor mye energi er lagret i fjæra før skuddet?

  2. Hvor høyt over utskytingspunktet kommer kula?

  3. Hvor høyt kommer kula dersom fjæra bare presses sammen halvparten så mye?

a) \[E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}\cdot500\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\cdot(0.080\,\mathrm{m})^2 = \underline{\underline{1.6\,\mathrm{J}}}\]

b) All elastisk potensiell energi blir til gravitasjonspotensiell energi i toppunktet: \[\frac{1}{2}kx^2 = m\mathrm{g}h \quad\implies\quad h = \frac{1.6\,\mathrm{J}}{0.050\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}} = \underline{\underline{3.3\,\mathrm{m}}}\]

c) Halvparten så stor kompresjon gir \((\tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{1}{4}\) av energien, og dermed en firedel av høyden: \[h = \frac{3.26\,\mathrm{m}}{4} = \underline{\underline{0.82\,\mathrm{m}}}\]

Aking med friksjon

Mia og akebrettet har til sammen masse \(m = 30\,\mathrm{kg}\). Hun starter i ro på toppen av en bakke som er \(h = 8.0\,\mathrm{m}\) høy. Bakken er \(40\,\mathrm{m}\) lang, målt langs bakken. I bunnen har hun farten \(v = 9.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).

  1. Hvor stor fart ville hun hatt i bunnen uten friksjon og luftmotstand?

  2. Hvor mye mekanisk energi gikk tapt på vei ned?

  3. Anta at hele energitapet skyldes en konstant friksjonskraft langs bakken. Hvor stor er denne kraften?

a) Uten tap blir all potensiell energi til kinetisk energi: \[v = \sqrt{2\mathrm{g}h} = \sqrt{2\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\cdot8.0\,\mathrm{m}} = 12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} \approx \underline{\underline{13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]

b) Energitapet er forskjellen mellom potensiell energi på toppen og kinetisk energi i bunnen: \[\Delta E = m\mathrm{g}h - \frac{1}{2}mv^2 = 2354\,\mathrm{J} - 1215\,\mathrm{J} = 1.14\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{1.1\,\mathrm{kJ}}}\]

c) En konstant friksjonskraft \(R\) langs hele bakken gjør arbeidet \(-R\cdot s\). Dette arbeidet er like stort som energitapet: \[R = \frac{\Delta E}{s} = \frac{1139\,\mathrm{J}}{40\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{28\,\mathrm{N}}}\]

Heis

En heis med passasjerer har til sammen masse \(m = 800\,\mathrm{kg}\). Heisen løftes \(30\,\mathrm{m}\) med konstant fart på \(20\,\mathrm{s}\).

  1. Hvor stort arbeid gjør heismotoren?

  2. Hvor stor effekt leverer motoren?

  3. Regn ut effekten på en annen måte, med \(P = F\cdot v\), og sjekk at du får samme svar.

a) Farten er konstant, så motorkraften er lik tyngdekraften, og arbeidet er økningen i potensiell energi: \[W = m\mathrm{g}h = 800\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\cdot30\,\mathrm{m} = 235\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{2.4\cdot 10^{2}\,\mathrm{kJ}}}\]

b) \[P = \frac{W}{t} = \frac{235440\,\mathrm{J}}{20\,\mathrm{s}} = 11.8\,\mathrm{kW} \approx \underline{\underline{12\,\mathrm{kW}}}\]

c) Farten er \(v = 30\,\mathrm{m}/20\,\mathrm{s} = 1.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\), og kraften er \(F = m\mathrm{g} = 7848\,\mathrm{N}\): \[P = F\cdot v = 7848\,\mathrm{N}\cdot1.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 11.8\,\mathrm{kW} \approx \underline{\underline{12\,\mathrm{kW}}}\] Vi får samme svar som i b).

Ballistisk pendel

En ballistisk pendel brukes til å måle farten til en kule. En kule med masse \(m = 10\,\mathrm{g}\) skytes inn i en trekloss med masse \(M = 2.0\,\mathrm{kg}\) som henger i en snor. Kula blir sittende fast i klossen, og klossen svinger ut slik at den stiger \(h = 5.0\,\mathrm{cm}\).

  1. Bruk bevaring av mekanisk energi til å finne farten til klossen (med kula) rett etter støtet.

  2. Bruk bevaring av bevegelsesmengde til å finne farten til kula før den traff klossen.

  3. Hvorfor kan vi ikke bruke bevaring av mekanisk energi for selve støtet?

Vi kaller farten til kula før støtet \(v\), og den felles farten til klossen og kula rett etter støtet \(u\).

a) Etter støtet svinger klossen (med kula) opp. Nå virker bare tyngdekraften og snorkraften, og snorkraften gjør ikke arbeid. Mekanisk energi er derfor bevart: \[\frac{1}{2}(m+M)u^2 = (m+M)\mathrm{g}h \quad\implies\quad u = \sqrt{2\mathrm{g}h}\] \[u = \sqrt{2\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\cdot0.050\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{0.99\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]

b) Under selve støtet er bevegelsesmengden bevart: \[mv = (m+M)\,u \quad\implies\quad v = \frac{(m+M)\,u}{m}\] \[v = \frac{2.01\,\mathrm{kg}\cdot0.990\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{0.010\,\mathrm{kg}} = 199\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} \approx \underline{\underline{2.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]

c) Støtet er uelastisk: kula blir sittende fast i klossen. Mesteparten av den kinetiske energien til kula blir omdannet til varme og deformasjon av treverket. (Her er \(E_\text{K}\) før støtet omtrent \(198\,\mathrm{J}\), mens den bare er omtrent \(0.99\,\mathrm{J}\) rett etter.) Derfor kan vi bare bruke bevaring av bevegelsesmengde for selve støtet, og bevaring av mekanisk energi for svingningen etterpå.