Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
I mange viktige situasjoner er akselerasjonen konstant: fritt fall, en bil som bremser jevnt, en kloss som sklir ned et skråplan. Da kan vi finne posisjon og fart ved ethvert tidspunkt med fire likninger. Det beste eksempelet er tyngdeakselerasjonen nær jordoverflaten, \(\mathrm{g} = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\).
Utledning: fire likninger
Anta at \(a\) er konstant. Akselerasjonen er den deriverte av farten, så farten er integralet av akselerasjonen:
1. \[ v = \int a\,\mathrm{d}t = C + a t \] Ved \(t = 0\) er \(v = C\). Vi kaller startfarten \(v_0\), og får \[ v(t) = v_0 + a t \]
2. Posisjonen er integralet av farten: \[ s(t) = \int v\,\mathrm{d}t = \int (v_0 + a t)\,\mathrm{d}t = v_0 t + \tfrac12 a t^2 + C \] Her har vi brukt \(\int t^n\,\mathrm{d}t = \frac{1}{n+1}t^{n+1}\). Ved \(t = 0\) er \(s = C\), som vi kaller startposisjonen \(s_0\): \[ s(t) = s_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2 \]
3. Tilbakelagt strekning er arealet under \(v(t)\)-grafen. Grafen er en rett linje, så arealet er et rektangel \(A_1 = v_0 t\) pluss en trekant \(A_2 = \frac12(v - v_0)t\): \[ s = A_1 + A_2 = v_0 t + \tfrac12(v - v_0)t = \tfrac12(v_0 + v)\,t \]
4. Energibevaring: Den kinetiske energien etterpå er lik kinetisk energi før, pluss arbeidet \(W = F s = m a s\) som er gjort på legemet: \[ \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 m v_0^2 + m a s \quad\Rightarrow\quad 2 a s = v^2 - v_0^2 \] Massen forkortes bort.
Samlet, med \(s\) målt fra startposisjonen:
\[ \begin{aligned} v &= v_0 + a t \\ s &= v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 \\ 2as &= v^2 - v_0^2 \\ s &= \tfrac{1}{2}(v_0 + v)\,t \end{aligned} \]
Hver likning mangler én av størrelsene. Velg den som mangler den du verken kjenner eller spør etter: den tredje når du ikke kjenner tiden, den fjerde når du ikke kjenner akselerasjonen.
Bestem deg for hvilken retning som er positiv, og gi alle størrelser riktig fortegn ut fra det. Velger du oppover som positiv, er tyngdeakselerasjonen \(a = -\mathrm{g} = -9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\).
Eksempel: Appelsin utfor Preikestolen. En appelsin slippes (\(v_0 = 0\)) fra Preikestolen, \(600\ \mathrm{m}\) over sjøen. Hvor stor fart har den når den treffer sjøoverflaten? Se bort fra luftmotstand.
Vi velger positiv retning oppover. Da er \(a = -9{,}81\ \mathrm{m/s^2}\) og forflytningen \(s = -600\ \mathrm{m}\). Tiden kjenner vi ikke, så vi bruker \(2as = v^2 - v_0^2\): \[ v = \pm\sqrt{2\cdot(-9{,}81\ \mathrm{m/s^2})\cdot(-600\ \mathrm{m})} = \pm108{,}5\ \mathrm{m/s} \] Appelsinen er på vei ned, så vi velger minus: \(v \approx \underline{\underline{-108\ \mathrm{m/s}}}\). Det er nesten \(400\ \mathrm{km/h}\)! I virkeligheten bremser luftmotstanden den mye før den kommer så langt.
Eksempel: Bil som bremser. En bil har farten \(v_0 = 24\ \mathrm{m/s}\) ved \(t_1 = 5\ \mathrm{s}\) og \(v = 12\ \mathrm{m/s}\) ved \(t_2 = 15\ \mathrm{s}\).
a) Akselerasjonen: \(\Delta t = 10\ \mathrm{s}\), og fra \(v = v_0 + a\Delta t\): \[ a = \frac{v - v_0}{\Delta t} = \frac{12\ \mathrm{m/s} - 24\ \mathrm{m/s}}{10\ \mathrm{s}} = \underline{\underline{-1{,}2\ \mathrm{m/s^2}}} \]
b) Anta i stedet at vi bare vet at bilen har kjørt \(80\ \mathrm{m}\) mellom de to målingene. Uten tid bruker vi \(2as = v^2 - v_0^2\): \[ a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} = \frac{(12\ \mathrm{m/s})^2 - (24\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot80\ \mathrm{m}} = \frac{144 - 576}{160}\ \mathrm{m/s^2} = \underline{\underline{-2{,}7\ \mathrm{m/s^2}}} \] Sjekk enheten: \(\frac{\mathrm{m^2/s^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m/s^2}\). ✓
En ball kastes nedover med en fart \(v_0\) ved tiden \(t = 0\). Vi velger positiv retning oppover og ser bort fra luftmotstand. Hvilket uttrykk for hastigheten er riktig?
- A. \(v = v_0 + \frac12 \mathrm{g} t^2\)
- B. \(v = v_0 + \mathrm{g} t\)
- C. \(v = v_0 - \mathrm{g} t\)
- D. \(v = -v_0 - \frac12 \mathrm{g} t^2\)
- E. \(v = -v_0 - \mathrm{g} t\)
Akselerasjonen er konstant, så vi bruker \(v = v_0 + a t\). Uttrykkene med \(t^2\) kan vi stryke med en gang: de hører til posisjonen, ikke hastigheten.
Nå gjelder det fortegnene. Positiv retning er oppover. Ballen kastes nedover, så starthastigheten er \(-v_0\). Tyngdeakselerasjonen peker også nedover: \(a = -\mathrm{g}\). Dermed \[ v = -v_0 - \mathrm{g} t \qquad \text{(alternativ E)} \]
En bil som kjører i \(30\ \mathrm{km/h}\), bremser jevnt og stopper etter \(30\ \mathrm{m}\).
Hvor stor er akselerasjonen?
Hvor lang tid tar det før bilen står stille?
Bilen bremser fra dobbelt så stor fart, \(60\ \mathrm{km/h}\), med samme akselerasjon. Hvor lang blir bremsestrekningen og bremsetiden nå?
a) Vi kjenner ikke tiden, så vi bruker \(v^2 - v_0^2 = 2as\) med \(v = 0\) og \(v_0 = 30/3{,}6\ \mathrm{m/s}\): \[ a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} = \frac{0 - (30/3{,}6)^2}{2\cdot30}\ \mathrm{m/s^2} \approx \underline{\underline{-1{,}2\ \mathrm{m/s^2}}} \] Minustegnet betyr at akselerasjonen peker mot kjøreretningen: bilen bremser.
b) Fra \(s = \frac12(v_0 + v)t\) med \(v = 0\): \[ t = \frac{2s}{v_0} = \frac{2\cdot30\ \mathrm{m}}{30/3{,}6\ \mathrm{m/s}} \approx \underline{\underline{7{,}2\ \mathrm{s}}} \]
c) Fra a) er \(s = -v_0^2/(2a)\): bremselengden er proporsjonal med \(v_0^2\). Dobbel fart gir \(2^2 = 4\) ganger så lang bremselengde, altså \(120\ \mathrm{m}\). Tiden er \(t = -v_0/a\), proporsjonal med \(v_0\), og blir dobbelt så lang: \(14{,}4\ \mathrm{s}\).
En personbil kjører med konstant fart \(v = 100\ \mathrm{km/h}\) forbi en politibil som står i ro i \(x = 0\). Politibilen reagerer etter \(\Delta t = 2{,}0\ \mathrm{s}\) og starter da med konstant akselerasjon. La \(t = 0\) være når politibilen starter. Den tar igjen personbilen \(1{,}0\ \mathrm{km}\) lenger fram.
Finn posisjonsfunksjonene for personbilen og politibilen.
Hvor stor akselerasjon må politibilen ha?
Hvor stor fart har politibilen idet den tar igjen personbilen?
a) Personbilen har et forsprang \(v\Delta t\) ved \(t = 0\), og kjører med konstant fart: \[ x_1(t) = v\Delta t + v t \] Politibilen starter fra ro i \(x = 0\) med konstant akselerasjon: \[ x_2(t) = \tfrac12 a t^2 \]
b) De møtes når \(x_1 = x_2 = x = 1{,}0\cdot10^3\ \mathrm{m}\). Fra personbilens likning finner vi tiden: \(t = x/v - \Delta t\). Den setter vi inn i politibilens likning og løser for \(a\): \[ a = \frac{2x}{\left(\frac{x}{v} - \Delta t\right)^2} = \frac{2\cdot1{,}0\cdot10^3\ \mathrm{m}}{\left(\frac{1{,}0\cdot10^3\ \mathrm{m}}{100/3{,}6\ \mathrm{m/s}} - 2{,}0\ \mathrm{s}\right)^2} \approx \underline{\underline{1{,}7\ \mathrm{m/s^2}}} \]
c) Fra \(v^2 - v_0^2 = 2ax\) med \(v_0 = 0\): \[ v_{\text{politi}} = \sqrt{2ax} = \sqrt{2\cdot1{,}73\ \mathrm{m/s^2}\cdot1{,}0\cdot10^3\ \mathrm{m}} \approx 58{,}8\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{2{,}1\cdot10^2\ \mathrm{km/h}}} \]
Kenny mister en appelsin utfor kanten på Preikestolen. Den faller rett ned fra ro. Hvor lang tid bruker den på de første \(3{,}0000\ \mathrm{m}\)? Se bort fra luftmotstand.
Vi bruker \(s = v_0 t + \frac12 a t^2\) med \(v_0 = 0\) og \(a = \mathrm{g}\) (positiv retning nedover): \[ s = \tfrac12 \mathrm{g} t^2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2s}{\mathrm{g}}} = \sqrt{\frac{2\cdot3{,}0000\ \mathrm{m}}{9{,}81\ \mathrm{m/s^2}}} \approx \underline{\underline{0{,}782\ \mathrm{s}}} \]