6.5 Ekstraoppgaver

Kapittel 6: Statikk

Her er flere oppgaver fra temaene vi har behandlet i dette kapitlet.

Bilde på vegg

Et bilde med masse \(m = 1.5\,\mathrm{kg}\) henger i en snor over en spiker. De to delene av snora danner like store vinkler \(\alpha\) med horisontalen.

  1. Finn snorkraften når \(\alpha = 15^\circ\).

  2. Finn snorkraften når \(\alpha = 45^\circ\).

  3. Hvorfor er det lurt å ikke stramme snora for mye når man henger opp et tungt bilde?

Dette er samme situasjon som eksempelet Trafikklys i kompendiet. De horisontale komponentene opphever hverandre, og de vertikale komponentene må til sammen bære tyngden: \[2S\sin\alpha = m\mathrm{g} \quad\implies\quad S = \frac{m\mathrm{g}}{2\sin\alpha}\]

a) \[S = \frac{1.5\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2\sin 15^\circ} = \underline{\underline{28\,\mathrm{N}}}\]

b) \[S = \frac{1.5\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2\sin 45^\circ} = \underline{\underline{10\,\mathrm{N}}}\]

c) En stram snor gir en liten vinkel \(\alpha\), og da blir \(\sin\alpha\) liten og snorkraften stor. Med \(\alpha = 15^\circ\) er snorkraften nesten dobbelt så stor som tyngden til bildet. En for stram snor kan derfor ryke, eller rive spikeren ut av veggen.

Vippehuske

En vippehuske er \(4.0\,\mathrm{m}\) lang og har støttepunktet på midten. Se bort fra massen til selve vippa. Et barn med masse \(25\,\mathrm{kg}\) sitter helt ytterst på den ene siden.

  1. Hvor langt fra støttepunktet må en voksen med masse \(80\,\mathrm{kg}\) sitte for at vippa skal balansere?

  2. Hvor stor kraft virker det fra støttepunktet på vippa når den balanserer?

a) Vi tar momenter om støttepunktet. Barnet sitter \(2.0\,\mathrm{m}\) fra støttepunktet. For at vippa skal balansere, må momentene på hver side være like store: \[m_\text{barn}\mathrm{g}\cdot d_\text{barn} = m_\text{voksen}\mathrm{g}\cdot d_\text{voksen} \quad\implies\quad d_\text{voksen} = \frac{25\,\mathrm{kg}\cdot2.0\,\mathrm{m}}{80\,\mathrm{kg}} = \underline{\underline{0.63\,\mathrm{m}}}\]

b) Kraftlikevekt vertikalt: kraften fra støttepunktet må bære begge personene: \[N = (25\,\mathrm{kg} + 80\,\mathrm{kg})\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 1.03\,\mathrm{kN} \approx \underline{\underline{1.0\,\mathrm{kN}}}\]

To personer bærer en planke

To personer bærer en ensartet planke som er \(3.0\,\mathrm{m}\) lang og har masse \(30\,\mathrm{kg}\). Person A holder i den venstre enden, og person B holder \(0.50\,\mathrm{m}\) fra den høyre enden. En kasse med masse \(20\,\mathrm{kg}\) står på planken, \(1.0\,\mathrm{m}\) fra den venstre enden.

Finn hvor stor kraft hver av personene må løfte med. (Hint: velg dreiepunkt der person A holder.)

Vi måler avstander fra den venstre enden, der person A holder. Tyngdekraften på planken angriper midt på, \(1.5\,\mathrm{m}\) fra A. Kassen står \(1.0\,\mathrm{m}\) fra A, og person B holder \(3.0\,\mathrm{m} - 0.50\,\mathrm{m} = 2.5\,\mathrm{m}\) fra A.

Momentlikning om A (positiv dreieretning mot klokken): \[F_B\cdot2.5\,\mathrm{m} - 30\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{g}\cdot1.5\,\mathrm{m} - 20\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{g}\cdot1.0\,\mathrm{m} = 0\] \[F_B = \frac{(45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m} + 20\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m})\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2.5\,\mathrm{m}} = 255\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{2.6\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]

Kraftlikevekt vertikalt: \[F_A = (30\,\mathrm{kg} + 20\,\mathrm{kg})\cdot\mathrm{g} - F_B = 490.5\,\mathrm{N} - 255\,\mathrm{N} = 235\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{2.4\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Person B bærer litt mer enn A. B holder nærmere midten av planken enn A, men kassen står nærmest A, så forskjellen blir liten.

Massesenteret til jorda og månen

Jorda har masse \(5.97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\) og radius \(6.37\cdot 10^{6}\,\mathrm{m}\). Månen har masse \(7.35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\), og avstanden mellom sentrene til jorda og månen er \(3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}\).

  1. Finn massesenteret til jord–måne-systemet, målt fra jordas sentrum.

  2. Ligger massesenteret inne i jorda eller utenfor?

a) Vi legger \(x = 0\) i sentrum av jorda og \(x = d = 3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}\) i sentrum av månen: \[x_\text{ms} = \frac{m_J\cdot 0 + m_M\cdot d}{m_J + m_M} = \frac{7.35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\cdot3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}}{5.97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg} + 7.35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}} = \underline{\underline{4.67\cdot 10^{6}\,\mathrm{m}}}\]

b) Jordas radius er \(6.37\cdot 10^{6}\,\mathrm{m}\), så massesenteret ligger inne i jorda, omtrent \(1700\,\mathrm{km}\) under overflaten. Det er rundt dette punktet både jorda og månen går i bane.

Mutter som sitter fast

En mutter sitter fast, og det trengs et kraftmoment på \(50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\) for å løsne den. Du har en skiftenøkkel som er \(30\,\mathrm{cm}\) lang.

  1. Hvor stor kraft må du minst bruke, og i hvilken retning bør du dra?

  2. Hvor stor kraft trengs dersom kraften danner en vinkel på \(60^\circ\) med skaftet på nøkkelen?

  3. Du setter et rør over skaftet slik at armen blir \(60\,\mathrm{cm}\) lang. Hvor stor kraft trengs nå, når du drar vinkelrett?

Vi bruker \(\tau = r\cdot F\cdot\sin\theta\), der \(\theta\) er vinkelen mellom skaftet og kraften.

a) Kraften blir minst når \(\sin\theta\) er størst, altså når du drar vinkelrett på skaftet (\(\theta = 90^\circ\)): \[F = \frac{\tau}{r} = \frac{50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{0.30\,\mathrm{m}} = 167\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.7\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]

b) \[F = \frac{\tau}{r\sin 60^\circ} = \frac{50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{0.30\,\mathrm{m}\cdot 0.866} = 192\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.9\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]

c) \[F = \frac{\tau}{r} = \frac{50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{0.60\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{83\,\mathrm{N}}}\] Dobbelt så lang arm gir halvparten så stor kraft.