Størrelser og enheter
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
En fysisk størrelse er noe vi kan måle, for eksempel lengde, tid eller masse. Den skrives alltid som tall ganger enhet:
\[ s = 500\ \mathrm{km} \]
Uten enhet er tallet meningsløst: «500» kan være meter, kilometer eller sekunder.
SI-systemet
Forskere og ingeniører over hele verden bruker de samme grunnenhetene, SI-enhetene. Det finnes sju av dem:
| Måleenhet | Måler |
|---|---|
| sekund, \(\mathrm{s}\) | tid |
| meter, \(\mathrm{m}\) | lengde |
| kilogram, \(\mathrm{kg}\) | masse |
| ampere, \(\mathrm{A}\) | elektrisk strøm |
| kelvin, \(\mathrm{K}\) | temperatur |
| mol, \(\mathrm{mol}\) | stoffmengde |
| candela, \(\mathrm{cd}\) | lysstyrke |
Siden 2019 er alle sju definert ut fra sju naturkonstanter med fastsatte verdier, blant annet lyshastigheten \(\mathrm{c} = 299\,792\,458\ \mathrm{m/s}\), Plancks konstant \(\mathrm{h}\), elementærladningen \(\mathrm{e}\), Boltzmanns konstant \(\mathrm{k_B}\) og Avogadros tall \(\mathrm{N_A}\). Meteren er for eksempel definert som hvor langt lyset går på \(1/299\,792\,458\) sekund. Vi trenger alle unntatt candela.
Avledede enheter
I mekanikken klarer vi oss med meter, kilogram og sekund. Alle andre enheter er bygget av disse. De kalles avledede enheter, og du finner dem ved å se på formelen som definerer størrelsen:
| Enhet | Størrelse | Fra formelen | I grunnenheter |
|---|---|---|---|
| newton, \(\mathrm{N}\) | kraft | \(F = ma\) | \(\mathrm{kg\,m/s^2}\) |
| joule, \(\mathrm{J}\) | arbeid, energi | \(W = Fs\) | \(\mathrm{kg\,m^2/s^2}\) |
| watt, \(\mathrm{W}\) | effekt | \(P = W/t\) | \(\mathrm{kg\,m^2/s^3}\) |
| pascal, \(\mathrm{Pa}\) | trykk | \(p = F/A\) | \(\mathrm{kg/(m\,s^2)}\) |
| hertz, \(\mathrm{Hz}\) | frekvens | \(f = 1/T\) | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
Vi skriver «enheten til \(F\)» med hakeparentes: \([F] = [m][a] = \mathrm{kg\cdot m/s^2} = \mathrm{N}\).
To regler for å regne med enheter
- Samme enhet i alle ledd. Alle ledd på begge sider av likhetstegnet må ha samme enhet. Du kan ikke legge sammen epler og druer: \(3\ \text{epler} \neq 2\ \text{druer} + 1\ \text{banan}\).
- Enheter følger algebra. De kan ganges, deles og forkortes akkurat som bokstaver: \(5\ \mathrm{m/s} + 2\ \mathrm{m/s} = (5+2)\ \mathrm{m/s} = 7\ \mathrm{m/s}\).
Regel 1 er en gratis kontroll: får du ulike enheter på hver side av likhetstegnet, har du regnet feil et sted.
Eksempel: Er \(50\ \mathrm{N}\) det samme som \(50\ \mathrm{kg\,m/s^2}\)?
Ja. Fra \(F = ma\) er \([F] = [m][a]\), så \(\mathrm{N} = \mathrm{kg\cdot m/s^2}\).
Å regne om enheter
Trikset er å erstatte hver enhet med det den er lik i SI, og så regne ut tallet. Enhetene oppfører seg akkurat som bokstaver i algebra: de kan ganges, deles og forkortes.
Eksempel: Hvor mange m/s er \(72\ \mathrm{km/h}\)?
Vi bruker \(1\ \mathrm{km} = 1000\ \mathrm{m}\) og \(1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}\): \[ 72\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 72 \cdot \frac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}} = 20\ \mathrm{m/s} \] Huskeregel: del på 3,6 for å gå fra km/h til m/s.
Hvor mange \(\mathrm{m/s^2}\) tilsvarer en akselerasjon på \(1\ \mathrm{km/h^2}\)?
En elbil bruker \(1\ \mathrm{kWh}\) per mil ved blandet kjøring. Hva er dette i joule per meter?
Oppgitt: \(1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\cdot10^6\ \mathrm{J}\) og \(1\ \mathrm{mil} = 10\ \mathrm{km}\).
a) Vi skriver om enhetene: \(1\ \mathrm{km} = 1000\ \mathrm{m}\) og \(1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}\). Legg merke til at timen er kvadrert: \[ 1\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h^2}} = \frac{1000\ \mathrm{m}}{(3600\ \mathrm{s})^2} = \frac{1000}{12\,960\,000}\ \mathrm{m/s^2} \approx \underline{\underline{7{,}7\cdot10^{-5}\ \mathrm{m/s^2}}} \]
b) Vi gjør om energien til joule og strekningen til meter: \(1\ \mathrm{mil} = 10\,000\ \mathrm{m}\). \[ \frac{3{,}6\cdot10^6\ \mathrm{J}}{10\,000\ \mathrm{m}} = \underline{\underline{360\ \mathrm{J/m}}} \]
Et nytt lyntog mellom Oslo og Trondheim kan holde en gjennomsnittsfart på \(320\ \mathrm{km/h}\). Strekningen er \(500\ \mathrm{km}\). Hvor lang tid bruker toget?
Fra definisjonen av fart, \(v = s/t\), får vi \(t = s/v\): \[ t = \frac{500\ \mathrm{km}}{320\ \mathrm{km/h}} = 1{,}5625\ \mathrm{h} \] \(0{,}5625\ \mathrm{h} \cdot 60\ \mathrm{min/h} \approx 34\ \mathrm{min}\), så toget bruker 1 time og 34 minutter.
I formelen \[ E = \frac{A + B}{C} + D \] er \([A] = \mathrm{K}\), \([C] = \mathrm{m/s}\) og \([D] = \mathrm{K\,s/m}\). Finn enhetene \([B]\) og \([E]\).
Vi bruker regel 1: alle ledd som legges sammen, må ha samme enhet.
- \(B\) legges sammen med \(A\), så \([B] = [A] = \underline{\underline{\mathrm{K}}}\).
- \(\frac{A+B}{C}\) har enheten \(\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m/s}} = \mathrm{K\,s/m}\). Det stemmer med \([D]\), så formelen henger sammen.
- \(E\) er summen av to ledd med enheten \(\mathrm{K\,s/m}\): \([E] = \underline{\underline{\mathrm{K\,s/m}}}\).
Skriv enhetene under med SI-grunnenheter, og si hvilken fysisk størrelse de er enhet for.
- \(\mathrm{N}\)
- \(\mathrm{Pa}\)
- \(\mathrm{J}\)
- \(\mathrm{W}\)
- \(\mathrm{Hz}\)
Vi tar utgangspunkt i formelen som definerer hver størrelse.
a) Newton er enheten for kraft. Fra Newtons 2. lov, \(\sum F = ma\): \(\ \mathrm{N} = \mathrm{kg\,m/s^2}\).
b) Pascal er enheten for trykk, som er kraft per areal: \(\ \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2} = \mathrm{kg/(m\,s^2)}\).
c) Joule er enheten for arbeid og energi. Arbeid er kraft ganger strekning: \(\ \mathrm{J} = \mathrm{N\,m} = \mathrm{kg\,m^2/s^2}\).
d) Watt er enheten for effekt, som er energi per tid: \(\ \mathrm{W} = \mathrm{J/s} = \mathrm{kg\,m^2/s^3}\).
e) Hertz er enheten for frekvens, antall svingninger per sekund: \(\ \mathrm{Hz} = \mathrm{s^{-1}}\).