Posisjon, hastighet og akselerasjon
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
For å beskrive en bevegelse trenger vi tre størrelser. Alle er funksjoner av tiden \(t\).
| Størrelse | Symbol | Betyr | SI-enhet |
|---|---|---|---|
| posisjon | \(\vec s(t)\) | hvor legemet er | \(\mathrm{m}\) |
| hastighet | \(\vec v(t)\) | hvor fort posisjonen endres | \(\mathrm{m/s}\) |
| akselerasjon | \(\vec a(t)\) | hvor fort hastigheten endres | \(\mathrm{m/s^2}\) |
Gjennomsnittsfart
Hvordan måler vi fart? Vi sjekker hvor langt legemet flytter seg, \(\Delta s\), på en gitt tid, \(\Delta t\):
\[ \bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_\text{slutt} - s_0}{t_\text{slutt} - t_0} \]
Dette er gjennomsnittsfarten over tidsintervallet \(\Delta t\). Streken over \(v\) betyr «gjennomsnitt».
Et nyttig verktøy er posisjonsgrafen \(s(t)\). Gjennomsnittsfarten er stigningstallet til linja mellom to punkter på grafen:
\[ \bar v_{0\to10} = \frac{200\ \mathrm{m} - 0\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{s} - 0\ \mathrm{s}} = 20\ \mathrm{m/s}, \qquad \bar v_{4\to6} = \frac{130\ \mathrm{m} - 50\ \mathrm{m}}{6\ \mathrm{s} - 4\ \mathrm{s}} = 40\ \mathrm{m/s} \]
Mellom 4 og 6 sekunder går det altså mye fortere enn i snitt.
Momentanfart
Idé: Vil vi vite farten i ett bestemt øyeblikk, lar vi \(\Delta s\) og \(\Delta t\) bli veldig små. Momentanfarten er verdien gjennomsnittsfarten nærmer seg når \(\Delta t \to 0\). Det er nettopp definisjonen av den deriverte:
\[ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = s'(t) \]
Geometrisk: linja gjennom to punkter P og Q på grafen blir til tangenten i P når Q glir mot P. Momentanfarten er stigningstallet til tangenten. Speedometeret i bilen viser momentanfarten.
Eksempel: Usain Bolt. En modell for posisjonen til en sprinter er \(s(t) = 0{,}548\ \mathrm{m/s^2}\cdot t^2\). Finn gjennomsnittsfarten de første 10 sekundene, og momentanfarten etter 4 sekunder.
Gjennomsnittsfarten: \[ \bar v = \frac{s(10\ \mathrm{s}) - s(0)}{10\ \mathrm{s} - 0} = \frac{54{,}8\ \mathrm{m} - 0}{10\ \mathrm{s}} \approx 5{,}48\ \mathrm{m/s} \] Momentanfarten: vi deriverer med regelen \((t^n)' = n\,t^{n-1}\): \[ v(t) = s'(t) = 2\cdot0{,}548\ \mathrm{m/s^2}\cdot t \quad\Rightarrow\quad v(4{,}0\ \mathrm{s}) = 2\cdot0{,}548\cdot4{,}0\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{4{,}4\ \mathrm{m/s}}} \]
Akselerasjon
Akselerasjon er endring i hastighet over tid. På samme måte som for farten har vi gjennomsnittsakselerasjon og momentanakselerasjon:
\[ \bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}, \qquad a(t) = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = v'(t) = s''(t) \]
Akselerasjonen er altså den deriverte av farten, og den andrederiverte av posisjonen.
Eksempel: Farten til et legeme er \(v(t) = t^2\) (i \(\mathrm{m/s}\), med \(t\) i sekunder).
Gjennomsnittsakselerasjon fra 0 til 1 s og fra 2 til 3 s: \[ \bar a_{0\to1} = \frac{1^2 - 0^2}{1 - 0}\ \mathrm{m/s^2} = 1\ \mathrm{m/s^2}, \qquad \bar a_{2\to3} = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2}\ \mathrm{m/s^2} = 5\ \mathrm{m/s^2} \] Momentanakselerasjonen er \(a(t) = v'(t) = 2t\), så \[ a(0{,}5\ \mathrm{s}) = 1\ \mathrm{m/s^2}, \qquad a(2{,}5\ \mathrm{s}) = 5\ \mathrm{m/s^2} \] Legg merke til at gjennomsnittet over et intervall er lik momentanverdien midt i intervallet. Det gjelder når akselerasjonen endrer seg jevnt.
I én dimensjon
Langs en rett linje legger vi en \(x\)-akse langs bevegelsen, og skriver \(s(t) = x(t)\): \[ v(t) = x'(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, \qquad a(t) = x''(t) = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} \] Egentlig er posisjon, hastighet og akselerasjon vektorer, \(\vec s = [s_x,\ s_y]\), \(\vec v = [v_x,\ v_y]\) og \(\vec a = [a_x,\ a_y]\). Det bruker vi når bevegelsen ikke er rettlinjet, i skrått kast.
Fart og hastighet er ikke det samme
Fart er hvor fort noe går, uten retning. Det er et tall, for eksempel \(v = 10\ \mathrm{m/s}\). Hastighet er fart med retning, altså en vektor, for eksempel \(\vec v = (6{,}0,\ 8{,}0)\ \mathrm{m/s}\). Farten er lengden av hastighetsvektoren: \(\sqrt{6^2+8^2} = 10\ \mathrm{m/s}\).
En bil som holder \(50\ \mathrm{km/h}\) gjennom en sving, har konstant fart men endrer hastighet, fordi retningen endres. Den har altså en akselerasjon, selv om speedometeret står stille. Dette kommer vi tilbake til under sirkelbevegelse.
Å lese grafer
Sammenhengen mellom grafene er nyttig å kunne utenat:
- Stigningstallet til \(s(t)\)-grafen er hastigheten. Stigningstallet til \(v(t)\)-grafen er akselerasjonen.
- Arealet under \(a(t)\)-grafen er endringen i hastighet. Arealet under \(v(t)\)-grafen er forflytningen.
Det andre punktet er integralregning: \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} a(t)\,\mathrm{d}t = v(t_2) - v(t_1)\).
Et tog starter fra ro. Akselerasjonen er først positiv, så negativ, og til slutt null. Når har toget størst fart? Svar: akkurat idet akselerasjonen skifter fortegn. Før det øker farten, etterpå avtar den.
Grafen viser akselerasjonen til et tog som kjører rett fram mellom to stasjoner.
Forklar ut fra grafen når farten øker og når den avtar.
I hvilket tidsintervall har toget størst fart?
Når begynner toget å bremse?
Hva betyr arealet under grafen fra \(t_1\) til \(t_2\)?
Hva forteller stigningstallet til grafen?
a) Når akselerasjonen er positiv (grafen over \(t\)-aksen), øker farten. Når den er negativ (under aksen), avtar farten.
b) Grafen ligger over aksen fra start til \(t_3\), så farten øker hele denne tiden. Fra \(t_3\) til \(t_4\) er akselerasjonen null, og farten er konstant. Størst fart har toget derfor i intervallet \([t_3,\ t_4]\).
c) Toget begynner å bremse når akselerasjonen blir negativ, ved \(t_4\).
d) Arealet er integralet \(\int_{t_1}^{t_2} a(t)\,\mathrm{d}t = v(t_2) - v(t_1)\), altså hvor mye farten øker i dette tidsrommet.
e) Stigningstallet sier hvor raskt akselerasjonen endrer seg. Det kalles ryk (engelsk jerk), med enhet \(\mathrm{m/s^3}\). Det sier ikke direkte noe om farten, men kjennes godt i kroppen når toget rykker i gang.