Vektorer og dekomponering

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Noen størrelser er helt beskrevet av ett tall, for eksempel masse (\(5\ \mathrm{kg}\)) eller tid (\(3\ \mathrm{s}\)). De kalles skalarer. Andre har også en retning: det er stor forskjell på å gå \(500\ \mathrm{m}\) nordover og \(500\ \mathrm{m}\) østover. Slike størrelser kalles vektorer, og vi tegner dem som piler. Lengden av pila er størrelsen, og pila peker i retningen.

Vi skriver vektorer med en pil over: \(\vec s\), \(\vec v\), \(\vec a\), \(\vec F\). Lengden (størrelsen) skrives \(|\vec a|\) eller bare \(a\).

Koordinatsystem

Matematikken er et verktøy i fysikken, og det viktigste verktøyet er koordinatsystemet. Med det kan vi beskrive hvor noe er (punktene A og B), og hvordan det beveger seg fra A til B.

Vektorer + koordinatsystem = sant ❤

Eksempel: Et fly har hastigheten \(500\ \mathrm{m/s}\) nordover og \(300\ \mathrm{m/s}\) østover: \[ \vec v = 500\ \mathrm{m/s}\ \hat{\text{N}} + 300\ \mathrm{m/s}\ \hat{\text{Ø}} \] Farten er lengden av vektoren: \[ v = \sqrt{500^2 + 300^2}\ \mathrm{m/s} \approx 583\ \mathrm{m/s} \]

Komponenter

I et koordinatsystem kan vi beskrive en vektor med hvor langt den går i \(x\)-retning og hvor langt i \(y\)-retning. Det er vektorens komponenter: \[ \vec a = [a_x,\ a_y] = a_x\,\hat x + a_y\,\hat y \] Her er \(\hat x\) og \(\hat y\) enhetsvektorer: piler med lengde 1 langs aksene.

Regning med vektorer

Med komponenter er det enkelt å regne. Ta \(\vec A = [5,\ 3]\) og \(\vec B = [-3,\ 5]\).

Addisjon: legg sammen komponent for komponent. \[ \vec A + \vec B = [5 + (-3),\ 3 + 5] = [2,\ 8] \]

Skalarprodukt (prikkprodukt): gang komponentene parvis og legg sammen. Det er også lik lengdene ganget med cosinus til vinkelen \(\alpha\) mellom vektorene: \[ \vec A\cdot\vec B = A_xB_x + A_yB_y = A\,B\cos\alpha \] For vektorene våre: \[ \vec A\cdot\vec B = 5\cdot(-3) + 3\cdot5 = 0 \] Skalarproduktet er null, så \(\cos\alpha = 0\) og \(\alpha = 90^\circ\): vektorene står vinkelrett på hverandre, \(\vec A \perp \vec B\).

Dekomponering med trigonometri

Kjenner vi lengden \(a\) og vinkelen \(\theta\) med \(x\)-aksen, finner vi komponentene med en rettvinklet trekant:

\[ \cos\theta = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{a_x}{a}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{a_y}{a} \]

\[ a_x = a\cos\theta, \qquad a_y = a\sin\theta, \qquad \tan\theta = \frac{a_y}{a_x} \]

Eksempel: En kraft \(S = 500\ \mathrm{N}\) virker \(\theta = 30^\circ\) over horisontalen. Hvor stor er den horisontale komponenten \(S_x\)?

Tegn kraften, tegn komponentene, og se på den rettvinklede trekanten: \[ \cos\theta = \frac{S_x}{S} \quad\Rightarrow\quad S_x = S\cos\theta = 500\ \mathrm{N}\cdot\cos30^\circ \approx 433\ \mathrm{N} \]

Andre veien, fra komponenter til lengde og vinkel, bruker vi Pytagoras: \[ a = |\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, \qquad \theta = \arctan\frac{a_y}{a_x} \]

Hvorfor dekomponere?

Det er mye lettere å regne i én retning om gangen. Vi deler problemet i en \(x\)-del og en \(y\)-del, løser hver for seg, og setter sammen til slutt. Dette trikset bruker vi hele tiden i mekanikken, både for bevegelse og for krefter.

Anne går først \(s_1 = 400\ \mathrm{m}\) østover og deretter \(s_2 = 500\ \mathrm{m}\) nordover.

  1. Lag et koordinatsystem og tegn Annes tur.

  2. Tegn vektorene \(\vec s_1\) og \(\vec s_2\).

  3. Tegn summen \(\vec s = \vec s_1 + \vec s_2\). Hvor langt er Anne fra startpunktet i luftlinje?

a) Vi velger positiv \(x\)-akse mot øst og positiv \(y\)-akse mot nord, med origo der Anne starter.

b) \(\vec s_1\) går fra origo \(400\ \mathrm{m}\) langs \(x\)-aksen. \(\vec s_2\) starter der \(\vec s_1\) slutter og går \(500\ \mathrm{m}\) i \(y\)-retning.

c) Summen går fra origo til sluttpunktet: \[ \vec s = (400,\ 0) + (0,\ 500) = (400,\ 500)\ \mathrm{m} \] Lengden finner vi med Pytagoras: \[ |\vec s| = \sqrt{400^2 + 500^2}\ \mathrm{m} \approx \underline{\underline{640\ \mathrm{m}}} \]

Arne drar en slede med en kraft \(F = 600\ \mathrm{N}\) som danner vinkelen \(\theta\) med bakken. Finn komponentene av kraften horisontalt og vertikalt.

Vi dekomponerer med cosinus og sinus: \[ F_x = F\cos\theta = 600\ \mathrm{N}\cdot\cos\theta, \qquad F_y = F\sin\theta = 600\ \mathrm{N}\cdot\sin\theta \] Med for eksempel \(\theta = 30^\circ\) blir \(F_x \approx 520\ \mathrm{N}\) og \(F_y = 300\ \mathrm{N}\). Bare \(F_x\) drar sleden fremover; \(F_y\) løfter litt på den.

  1. Er strekning en vektor?
  2. Er fart en vektor?
  3. Er akselerasjon en vektor?
  4. Er kraft en vektor?

a) Forflytning (endring i posisjon) har både størrelse og retning, og er en vektor. (Tilbakelagt strekning langs en bane er derimot bare en lengde.)

b) Hastighet er en vektor: hvor fort og i hvilken retning. Fart er bare størrelsen av hastigheten, altså en skalar. I dagligtale blandes ordene, men i fysikk skiller vi dem.

c) Ja. Akselerasjon er endring i hastighet per tid, og har retning.

d) Ja. En kraft har både størrelse (målt i newton) og retning. Newton er enheten; vektoren er selve kraften.