4.3 Krefter i dagliglivet
Kapittel 4: Dynamikk
I dette avsnittet viser vi noen eksempler på krefter som du møter i hverdagen.
Hvordan måler vi krefter?
For å måle og sammenlikne krefter med hverandre bruker vi noe som kalles et Newtonmeter. Det er rett og slett en fjær som presses sammen i et rør. Jo mer den presses sammen, jo større er krafta som trykker på fjæra. Så… la oss starte med å studere nettopp kraften fra en spiralfjær.
Kraft fra spiralfjær
Tenk på en spiralfjær. Når den er uspennt, hviler den i sin naturlige lengde — vi kaller dette likevektsposisjonen. Presser du fjæra sammen (eller drar den ut), vil den forsøke å sprette tilbake. Jo mer du presser, jo sterkere er kraften som prøver å rette den ut igjen.
La \(\vec{x}\) betegne forflytningen til den ene enden av fjæra fra likevektsposisjonen. Da er fjærkraften gitt ved Hookes lov:
Kraften fra en fjær på det den er festet til er proporsjonal med avviket \(\vec{x}\) fra likevektsposisjonen: \[\vec{F} = -k\vec{x}\] Her er \(k > 0\) fjærkonstanten (enhet: \(\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\)), og \(\vec{x}\) er forflytningen fra likevekt. Minustegnet viser at kraften alltid peker mot likevekt — uansett om fjæra er presset sammen eller strukket ut.
Figuren viser en fjær som er presset sammen. Vi definerer positiv \(x\)-retning mot høyre. Fjæra presses slik at avviket fra likevekt er \(\vec{x}\) (peker mot venstre, altså \(x < 0\)). Da er fjærkraften \[\vec{F} = -k\vec{x},\] som peker mot høyre — tilbake mot likevekt. Stivheten til fjæra bestemmes av fjærkonstanten \(k\): en stiv fjær (stor \(k\)) gir stor kraft selv ved lite avvik, mens en myk fjær (liten \(k\)) gir liten kraft.
Fjær trykket sammen. Avviket \(\vec{x}\) peker mot venstre (fra likevekt til klossen), og fjærkraften \(\vec{F}=-k\vec{x}\) peker mot høyre — tilbake mot likevekt.
Eksempel 4.2: Komprimert fjær
En spiralfjær har fjærkonstant \(k = 250\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}\). Den trykkes \(6.0\,\mathrm{cm}\) sammen fra likevektsposisjonen. Hva er størrelsen på fjærkraften?
Avviket fra likevekt er \(x = 6.0\,\mathrm{cm} = 0.060\,\mathrm{m}\). Hookes lov gir størrelsen på kraften: \[F = k \cdot |x| = 250\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1} \cdot 0.060\,\mathrm{m} = \underline{\underline{15\,\mathrm{N}}}\] Kraften peker vekk fra veggen — tilbake mot likevektsposisjonen.
Finn fjærkonstanten
Du fester et lodd til en vertikal fjær og måler at fjæra strekkes \(12\,\mathrm{cm}\) når loddet har masse \(m = 250\,\mathrm{g}\).
Hva er fjærkonstanten \(k\)? (Hint: når fjæra er i ro, er fjærkraften lik tyngdekraften på loddet.)
Hvor mye strekkes fjæra om du bytter til et lodd med masse \(m = 400\,\mathrm{g}\)?
a) Loddet henger i ro, så fjærkraften er like stor som tyngdekraften på loddet (se Hookes lov i kompendiet): \(F=kx=m\mathrm{g}\). Vi løser for \(k\): \[k = \frac{m\mathrm{g}}{x} = \frac{0.250\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{0.12\,\mathrm{m}} = 20.4\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1} \approx \underline{\underline{20\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}}}\]
b) Med det nye loddet, \(m=0.400\,\mathrm{kg}\), løser vi \(kx=m\mathrm{g}\) for \(x\): \[x = \frac{m\mathrm{g}}{k} = \frac{0.400\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{20.4\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}} = 0.192\,\mathrm{m} \approx \underline{\underline{0.19\,\mathrm{m}}} = 19.2\,\mathrm{cm} \approx \underline{\underline{19\,\mathrm{cm}}}\]
Tyngdekraft
Tyngdekraften \(\vec{G}\) er kraften jorda trekker et legeme mot sitt sentrum med. Størrelsen avhenger av legemets masse \(m\) og hvor langt unna jordas sentrum vi er. Men på jordoverflaten viser det seg at tyngdekraften er \[\vec{G} = m\vec{\mathrm{g}},\] hvor \(\mathrm{g}\approx 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\). Vi ser altså at tyngdekraften er proporsjonal med massen \(m\). Dette er spesielt. For se nå for deg et legeme som faller mot jorda, kun under påvirkning av tyngdekraften. Da gir Newtons andre lov at \[\begin{aligned} \sum F=ma\quad\rightarrow m\mathrm{g}=ma\\ a=\mathrm{g}=9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. \end{aligned}\] Tyngdekraften trekker altså alle legemer mot bakken med samme akselerasjon. Dette kalles fritt fall.
Dash-Line påvirkes av en kraft med størrelse \(G=m\mathrm{g}\) fra jorda. Dashman ser ut til å være påvirket av helt andre former for tiltrekningskrefter… ;)
På overflaten av månen ville tyngdens akselerasjon vært en annen. Der har vi nemlig \(\mathrm{g}_\text{måne} \approx 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\) — omtrent \(\frac{1}{6}\) av jordas. Merk at massen \(m\) er den samme uansett hvor du befinner deg, mens tyngdekraften \(G\) varierer med stedet.
Eksempel 4.3: Tyngdekraft på jordoverflaten
Sofie har masse \(m = 60\,\mathrm{kg}\). Hva er tyngdekraften som virker på henne på jordoverflaten?
Vi bruker definisjonen av tyngdekraft med \(\mathrm{g} = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\): \[G = m \cdot \mathrm{g} = 60\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 588.6\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{5.9\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
Tyngdekraft på jord og måne
Ola har masse \(m = 75\,\mathrm{kg}\).
Finn tyngdekraften på Ola på jordoverflaten (\(\mathrm{g} = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\)).
Finn tyngdekraften på Ola på månens overflate (\(\mathrm{g}_\text{måne} = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\)).
Hva er Olas masse på månen? Forklar svaret.
Vi bruker \(G=m\mathrm{g}\) (se Tyngdekraft i kompendiet).
a) På jorda: \[G = m\mathrm{g} = 75\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 736\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{7.4\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
b) På månen: \[G_\text{måne} = m\,\mathrm{g}_\text{måne} = 75\,\mathrm{kg}\cdot1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 122\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.2\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
c) Olas masse er fortsatt \(\underline{\underline{m=75\,\mathrm{kg}}}\) – helt uendret. Massen er et mål på hvor mye treghet (stoffmengde) Ola har, og det avhenger ikke av hvor han befinner seg. Det er tyngdekraften \(G\) som endrer seg mellom jorda og månen (fordi \(\mathrm{g}\) er forskjellig), ikke massen \(m\).
Fritt fall
En hammer og en fjær slippes samtidig fra samme høyde.
Hva tror du skjer — hvilket objekt når bakken først?
Hva skjer om vi pumper vekk all lufta i rommet? Bruk det du har lært om tyngdekraft til å forklare svaret.
a) De fleste vil tro at hammeren treffer bakken først. Dette stemmer faktisk i virkeligheten (med luft til stede): fjæra har stort overflateareal i forhold til massen sin, så luftmotstanden bremser fjæra mye mer enn den bremser hammeren. Hammeren faller dermed tilnærmet i fritt fall, mens fjæra daler sakte ned.
b) Dersom vi pumper vekk all lufta (fullstendig vakuum), er luftmotstanden borte, og begge objektene er i fritt fall – de påvirkes kun av tyngdekraften. Fra Newtons 2. lov (se Tyngdekraft i kompendiet): \[\sum F = ma \quad\Rightarrow\quad m\mathrm{g} = ma \quad\Rightarrow\quad a = \mathrm{g},\] og massen \(m\) forsvinner fullstendig fra likningen. Akselerasjonen er dermed \(\mathrm{g}\) for alle legemer, uavhengig av masse og form. I vakuum vil derfor hammeren og fjæra treffe bakken samtidig – noe som faktisk ble demonstrert på Månen av astronaut David Scott under Apollo 15-ferden, nettopp fordi Månen ikke har noen atmosfære.
Underlagskrefter
Når et objekt står på et underlag så virker det krefter fra underlaget, som sørger for at objektet ikke faller gjennom. Vi dekomponerer gjerne slike underlagskrefter \(\vec{U}\) i to deler: normalkraft (\(\vec{N}\)) og friksjonskraft (\(\vec{R}\)), slik at \[\vec{U}=\vec{N}+\vec{R}.\] Normalkraften \(\vec{N}\) virker vinkelrett på underlaget, mens friksjonskraften \(\vec{R}\) virker parallelt med underlaget. Figuren viser en fot som står på bakken — underlagskraften \(\vec{U}\) kan da dekomponeres i begge disse retningene.
En fot som står på bakken. Underlagskraften \(\vec{U}\) dekomponeres i normalkraften \(\vec{N}\) (vinkelrett) og friksjonskraften \(\vec{R}\) (parallelt med underlaget).
La oss se nærmere på hver av disse.
Normalkraft
Normalkraften \(\vec{N}\) er den delen av underlagskraften som virker vinkelrett på underlaget (/normalt på underlaget, derav navnet). Som vi skal se i de følgende eksemplene så kan vi i mange tilfeller bruke Newtons 1. eller 2. lov til å finne størrelsen på normalkraften.
Eksempel 4.4: Person i ro på flatt underlag
Ola har masse \(m = 80\,\mathrm{kg}\) og står i ro på et flatt gulv. Hva er normalkraften som gulvet utøver på Ola?
Siden Ola er i ro, er summen av krefter i vertikal retning null (Newtons 2. lov med \(a = 0\)): \[\sum F_y = N - G = 0 \implies N = G = m \cdot \mathrm{g}\] \[N = 80\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 784.8\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{7.8\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Gulvet skyver Ola opp med nøyaktig like stor kraft som tyngdekraften trekker Ola ned — dette er et eksempel på Newtons 3. lov i praksis.
Som vi så i eksemplet over så er Normalkraften like stor og motsatt rettet i forhold til tyngdekraften når et legeme står i ro på et gulv. Slik må det nesten være, ettersom det da kun er \(G\) og \(N\) som virker. Likevel er ikke \(N\) motkraften til \(G\).
Hvorfor er ikke \(\vec{N}\) og \(\vec{G}\) et kraft-motkraft par slik som det er definert i Newtons 3. lov?
Grunnen er enkel: Både \(\vec{N}\) og \(\vec{G}\) virker på samme legeme. Newtons 3. lov handler om vekselvirkning mellom legemer, og kraft-motkraftpar virker derfor alltid på to forskjellige legemer. Det er liksom hele poenget. Derfor må vi stille oss et viktig spørsmål til.
Hva er motkreftene til \(\vec{N}\) og \(\vec{G}\) i eksemplet over? På hvilke legemer virker de?
Eksempel 4.5: Normalkraft i akselererende heis
Kari har masse \(m = 70\,\mathrm{kg}\) og står i en heis. Heisen akselererer oppover med \(a = 2.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\). Hva er normalkraften \(\vec{N}\) som gulvet utøver på Kari?
Vi tegner inn kreftene på Kari: tyngdekraften \(\vec{G}\) peker ned og normalkraften \(\vec{N}\) peker opp. Kari akselererer oppover, så vi velger oppover som positiv retning. Newtons 2. lov gir \[\sum F_y = N - G = ma\] \[N = G + ma = m(\mathrm{g} + a) = 70\,\mathrm{kg} \cdot (9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} + 2.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}) = 827\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{8.3\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Til sammenligning er tyngdekraften på Kari \(G = 70\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx 687\,\mathrm{N}\). Normalkraften er altså større enn tyngdekraften når heisen akselererer oppover — Kari føler seg tyngre enn til vanlig.
Normalkraft i heis — ulike situasjoner
Ola har masse \(m = 80\,\mathrm{kg}\) og er i en heis. Finn normalkraften \(N\) i følgende tilfeller:
Heisen bremser ned mens den beveger seg oppover, slik at \(a = -3.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\).
Heisen er i fritt fall (tau røk!). Hva er \(N\) da, og hva ville Ola oppleve?
Vi velger oppover som positiv retning og bruker Newtons 2. lov i vertikal retning, akkurat som i eksempelet Normalkraft i akselererende heis i kompendiet: \(\sum F_y = N - G = ma \implies N = m(\mathrm{g}+a)\).
a) Her er \(a=-3.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\) (akselerasjonen peker nedover, siden heisen bremser mens den beveger seg oppover): \[N = m(\mathrm{g}+a) = 80\,\mathrm{kg}\cdot(9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}-3.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}) = 545\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{5.4\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Dette er mindre enn tyngdekraften (\(G=785\,\mathrm{N}\)) – Ola føler seg lettere enn vanlig.
b) I fritt fall er \(a=-\mathrm{g}\): \[N = m(\mathrm{g}-\mathrm{g}) = \underline{\underline{0\,\mathrm{N}}}\] Normalkraften er null – Ola ville oppleve vektløshet. Dette er nøyaktig samme situasjon som å simulere vektløshet i fly ved fritt fall (se Fritt fall som eksempel i kompendiet).
Friksjonskraft
Friksjonskraft \(\vec{R}\) er den delen av underlagskraften som virker parallelt med kontaktflaten. Den motstår alltid relativ bevegelse mellom to overflater — eller tendensen til slik bevegelse. Figuren viser et objekt som skyves horisontalt: normalkraften \(\vec{N}\) peker opp, tyngdekraften \(\vec{G}\) peker ned, den påførte kraften \(\vec{F}\) peker til høyre, og friksjonskraften \(\vec{R}\) peker til venstre — motsatt av bevegelsesretningen.
Størrelsen på friksjonskraften avhenger av to ting: normalkraften \(N\) og et tall som beskriver hvor «glatt» eller «ru» kontakten mellom overflatene er. Dette tallet kalles friksjonskoeffisienten, og det finnes én for hvert av de to tilfellene vi nå skal studere.
Krefter på et objekt som skyves horisontalt. Friksjonskraften \(\vec{R}\) virker alltid motsatt av bevegelsesretningen.
Den statiske friksjonskoeffisienten \(\mu_s\) bestemmer maksimal hvilefriksjon. Når et objekt er i ro, tilpasser friksjonskraften seg automatisk og kan ta alle verdier opp til \[R_s \leq \mu_s N.\] Den kinetiske friksjonskoeffisienten \(\mu_k\) bestemmer glidefriksjonen. Når et objekt glir langs underlaget, er friksjonskraften tilnærmet konstant: \[R = \mu_k N.\] Begge koeffisientene er dimensjonsløse tall (\(\mu > 0\)) som avhenger av materialene i kontakt. Som regel er \(\mu_k < \mu_s\).
Verdiene til \(\mu_s\) og \(\mu_k\) avhenger sterkt av overflatene. Is mot stål gir lave verdier (\(\mu_k \approx 0.03\)), gummi mot asfalt gir høye (\(\mu_s \approx 0.8\)). Legg merke til at \(\mu_k < \mu_s\): det kreves alltid mer kraft for å sette noe i bevegelse enn for å holde det i bevegelse — noe alle som noen gang har prøvd å flytte et tungt møbel, kjenner godt til.
| tørr asfalt | |||||||
| våt asfalt | |||||||
| mot is | |||||||
| mot is | |||||||
| jern | |||||||
| kroppen | |||||||
| metall | |||||||
| \(\mu_s\) (statisk) | 1.0 | 0.3 | 0.15 | 0.03 | 0.7 | 0.01 | 0.5 |
| \(\mu_k\) (kinetisk) | 0.8 | 0.25 | 0.1 | 0.01 | 0.6 | 0.003 | 0.4 |
* Hvilefriksjon
Eksempel 4.6: Kasse på gulv
En kasse med masse \(m = 15\,\mathrm{kg}\) står på et gulv med statisk friksjonskoeffisient \(\mu_s = 0.40\). Du skyver horisontalt med kraft \(F = 40\,\mathrm{N}\). Begynner kassen å bevege seg?
Normalkraften er \(N = m\mathrm{g} = 15\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 147.2\,\mathrm{N}\). Maksimal hvilefriksjon er \[R_{s,\text{maks}} = \mu_s \cdot N = 0.40 \cdot 147.2\,\mathrm{N} = 58.9\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{59\,\mathrm{N}}}\] Siden \(F = 40\,\mathrm{N} < R_{s,\text{maks}} = 59\,\mathrm{N}\), holder hvilefriksjonen kassen i ro. Den beveger seg ikke.
Flytte et skap
Et skap har masse \(m = 80\,\mathrm{kg}\) og står på et tregulv med \(\mu_s = 0.35\).
Hva er den minste horisontale kraften som trengs for å sette skapet i bevegelse?
To personer skyver med en samlet kraft på \(F = 260\,\mathrm{N}\). Begynner skapet å bevege seg? Forklar.
Normalkraften er \(N=m\mathrm{g}=80\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}=784.8\,\mathrm{N}\).
a) Den minste kraften som trengs for å sette skapet i bevegelse må akkurat overvinne maksimal hvilefriksjon (se Friksjonskrefter i kompendiet), \(R_{s,\text{maks}}=\mu_s N\): \[F_\text{min} = \mu_s N = 0.35\cdot784.8\,\mathrm{N} = 275\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{2.7\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
b) De to personene skyver med \(F=260\,\mathrm{N}\), som er mindre enn \(R_{s,\text{maks}}=275\,\mathrm{N}\). Hvilefriksjonen tilpasser seg og motvirker hele den påførte kraften (\(R_s=F=260\,\mathrm{N} < R_{s,\text{maks}}\)), så skapet begynner ikke å bevege seg.
* Glidefriksjon
Et nyttig resultat: hva er akselerasjonen til et objekt som glir langs et flatt underlag uten noen annen horisontal kraft enn friksjon? Newtons 2. lov i vertikal retning gir \(N = m\mathrm{g}\) (ingen vertikal akselerasjon). I horisontal retning er eneste kraft friksjonskraften: \[\sum F_x = -R = ma \quad\Rightarrow\quad -\mu_k N = ma \quad\Rightarrow\quad -\mu_k m\mathrm{g} = ma\]
\(\displaystyle a = -\mu_k \mathrm{g}\)
Akselerasjonen (retardasjonen) avhenger altså ikke av massen — kun av friksjonskoeffisienten og tyngdeakselerasjonen. En tung og en lett gjenstand med samme \(\mu_k\) bremser like raskt.
Eksempel 4.7: Boks som sklir
En boks med masse \(m = 10\,\mathrm{kg}\) glir langs et gulv med kinetisk friksjonskoeffisient \(\mu_k = 0.30\). Ingen andre horisontale krefter virker.
Hva er friksjonskraften på boksen?
Hva er boksens akselerasjon?
a) Normalkraften er \(N = m\mathrm{g} = 10\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 98.1\,\mathrm{N}\). \[R = \mu_k \cdot N = 0.30 \cdot 98.1\,\mathrm{N} = 29.4\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{29\,\mathrm{N}}}\]
b) Friksjonskraften er eneste horisontale kraft, og den peker motsatt av bevegelsesretningen. Newtons 2. lov gir \[\sum F = -R = ma \implies a = -\frac{R}{m} = -\frac{29.4\,\mathrm{N}}{10\,\mathrm{kg}} = -2.94\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx \underline{\underline{-2.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\] Minustegnet betyr at boksen bremser ned.
Hockeypuck på is
En hockeypuck har masse \(m = 170\,\mathrm{g}\) og glir på is med \(\mu_k = 0.030\).
Hva er friksjonskraften på pucken?
Hva er puckens akselerasjon?
Pucken skyves avgårde med startfart \(v_0 = 15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\). Bruk kinematikk til å beregne hvor lang strekning den glir før den stopper.
a) Normalkraften er \(N=m\mathrm{g}\), med \(m=170\,\mathrm{g}=0.170\,\mathrm{kg}\). Friksjonskraften er (se Glidefriksjon i kompendiet): \[R = \mu_k N = \mu_k m\mathrm{g} = 0.030\cdot0.170\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 0.0500\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{0.050\,\mathrm{N}}}\]
b) Friksjonen er eneste horisontale kraft, så akselerasjonen er (uavhengig av massen): \[a = -\mu_k \mathrm{g} = -0.030\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = -0.294\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} \approx \underline{\underline{-0.29\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\]
c) Vi bruker fart-strekning-likningen (Likning 3 i avsnitten), \(v^2=v_0^2+2a\,\Delta s\), med \(v=0\) (pucken stopper): \[0 = v_0^2 + 2a\,s \quad\Rightarrow\quad s = \frac{-v_0^2}{2a} = \frac{v_0^2}{2\mu_k \mathrm{g}} = \frac{(15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{2\cdot 0.030\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}} = 382\,\mathrm{m} \approx \underline{\underline{3.8\cdot 10^{2}\,\mathrm{m}}}\] Pucken glir svært langt, nettopp fordi friksjonskoeffisienten mellom puck og is er så liten.
Bremselengde for bildekk
Et kjøretøy bremser hardt på flatt underlag slik at hjulene låser seg og bildekket sklir. Startfarten er \(v_0 = 80\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\).
Vis ved hjelp av Newtons 2. lov og kinematikk at bremselengden er gitt ved \[s = \frac{v_0^2}{2\,\mu_k\,\mathrm{g}}.\]
Beregn bremselengden for tørr asfalt (\(\mu_k = 0.70\)), våt vei (\(\mu_k = 0.40\)) og is (\(\mu_k = 0.10\)).
Hva skjer med bremselengden om farten dobles? Forklar med formelen.
a) Når hjulene låser seg, glir dekket mot veien, og glidefriksjonen er eneste horisontale kraft. Newtons 2. lov i horisontal retning gir (\(x\) i bevegelsesretningen, \(N=m\mathrm{g}\) fra vertikal likevekt): \[\sum F_x = -R = ma \quad\Rightarrow\quad -\mu_k m\mathrm{g} = ma \quad\Rightarrow\quad a = -\mu_k\mathrm{g}\] (dette er samme resultat som i Glidefriksjon, kompendiet). Deretter bruker vi fart-strekning-likningen (Likning 3 i avsnitten), \(v^2=v_0^2+2a\,s\), med \(v=0\) når bilen har stoppet: \[0 = v_0^2 - 2\mu_k\mathrm{g}\,s \quad\Longrightarrow\quad \underline{\underline{s = \frac{v_0^2}{2\,\mu_k\,\mathrm{g}}}} \qquad\checkmark\]
b) Vi regner om \(v_0=80\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}=22.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\), og setter inn for hver verdi av \(\mu_k\): \[\mu_k=0.70:\quad s = \frac{22.2^2}{2\cdot0.70\cdot9.81} = 36.0\,\mathrm{m} \approx \underline{\underline{36\,\mathrm{m}}} \quad\text{(tørr asfalt)}\] \[\mu_k=0.40:\quad s = \frac{22.2^2}{2\cdot0.40\cdot9.81} = 62.9\,\mathrm{m} \approx \underline{\underline{63\,\mathrm{m}}} \quad\text{(våt vei)}\] \[\mu_k=0.10:\quad s = \frac{22.2^2}{2\cdot0.10\cdot9.81} = 252\,\mathrm{m} \approx \underline{\underline{2.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{m}}} \quad\text{(is)}\]
c) Siden \(s \propto v_0^2\), vil en dobling av farten (\(v_0 \to 2v_0\)) gi \[s' = \frac{(2v_0)^2}{2\mu_k\mathrm{g}} = 4\cdot\frac{v_0^2}{2\mu_k\mathrm{g}} = 4s,\] altså firedobles bremselengden. Dette er grunnen til at det er så mye farligere å kjøre fort – bremselengden øker med kvadratet av farten.