Elektrisk felt
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Hva er et felt?
Et vektorfelt gir en vektor i hvert punkt i rommet. Et værkart med vindpiler er et godt eksempel: i hvert punkt viser en pil hvilken vei og hvor kraftig det blåser. Det elektriske feltet er på samme måte en pil i hvert punkt, som forteller hvilken kraft en ladning ville fått om den ble plassert der.
Elektrisk felt fra en punktladning
Coulombs lov sier hvordan to ladninger virker på hverandre. Nå deler vi opp tenkemåten i to trinn: ladningen \(q\) lager et elektrisk felt \(\vec E\) rundt seg, og en annen ladning \(Q\) som befinner seg i feltet, kjenner en kraft.
Det elektriske feltet \(\vec E\) generert av ladningen \(q\) er \[ \vec E = k\frac{q}{r^2}\,\hat r, \] der \(\hat r\) er enhetsvektoren som peker fra \(q\) og ut til punktet vi ser på. Enheten er \(\mathrm{N/C}\).
En ladning \(Q\) som er i dette feltet, opplever da kraften
\[ \vec F = Q\,\vec E \]
Sammenlign med tyngdekraften \(\vec G = m\vec{\mathrm g}\): Tyngdeakselerasjonen \(\vec{\mathrm g}\) er gravitasjonsfeltet, og massen \(m\) er «ladningen» som kjenner det. På samme måte er \(\vec E\) det elektriske feltet, og \(Q\) er ladningen som kjenner det.
Retningen på feltet
Feltet fra en positiv ladning peker rett ut fra ladningen. Feltet fra en negativ ladning peker rett inn mot den:
Retningen på \(\vec E\) er altså retningen en positiv testladning ville blitt dyttet. En negativ ladning \(Q\) kjenner en kraft \(\vec F = Q\vec E\) som peker motsatt vei av feltet.
Hvor sterkt er feltet?
Feltet avtar med kvadratet av avstanden: \(E \propto 1/r^2\). Dobler du avstanden, blir feltet en firedel så sterkt.
Superposisjon av felt
Dersom \(\vec E_1\) er det elektriske feltet som genereres av ladning \(q_1\), og \(\vec E_2\) er feltet fra \(q_2\) og så videre, er det totale feltet
\[ \vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \dots + \vec E_N = \sum_{i=1}^{N}\vec E_i \]
Dette er det totale elektriske feltet som genereres av ladningsfordelingen \[ Q = q_1 + q_2 + \dots + q_N = \sum_{i=1}^{N} q_i \]
Merk at vi legger sammen vektorer, ikke tall. To felt som er like sterke, men peker motsatt vei, opphever hverandre.
Eksempel: Ladninger, krefter og felt. Fire ladninger \(q_1 = \mathrm{e}\), \(q_2 = -3\mathrm{e}\), \(q_3 = -\mathrm{e}\) og \(q_4 = 2\mathrm{e}\) ligger rundt et punkt \(P\), der vi plasserer ladningen \(Q = +\mathrm{e}\).
a) Tegn inn vektorene \(\vec r_1, \vec r_2, \dots\)
b) Tegn inn feltene \(\vec E_1, \vec E_2, \dots\) i punktet \(P\).
c) Tegn inn kreftene \(\vec F_1, \vec F_2, \dots\) på \(Q\).
d) Hva ville forandret seg om \(Q = -\mathrm{e}\)?
a) Alle vektorene \(\vec r_i\) tegnes fra ladningen \(q_i\) inn mot punktet \(P\) der vi skal finne feltet.
b) Fortegnet på den feltgenererende ladningen avgjør retningen, siden \(\vec E_i = k\dfrac{q_i}{r_i^2}\hat r_i\):
Feltene fra de positive ladningene (\(q_1\) og \(q_4\)) peker bort fra dem, og feltene fra de negative (\(q_2\) og \(q_3\)) peker mot dem. Lengdene er tegnet omtrentlig: \(\vec E_2\) er størst fordi \(q_2\) har størst ladning og ligger nærmest.
c) Kraften på \(Q\) fra hver ladning er \[ \vec F_i = k\frac{q_i\,Q}{r_i^2}\,\hat r_i = Q\,\vec E_i \] Med \(Q = +\mathrm{e}\) peker hver kraft samme vei som det tilhørende feltet.
d) Svarene i a) og b) ville vært uendret: feltet avhenger bare av ladningene som lager det, ikke av ladningen vi plasserer i \(P\). Men alle kreftene ville pekt motsatt vei.
Eksempel: Ladninger langs en rett linje. Ladningen \(q_1 = -\mathrm{e}\) ligger i \(x = -L\), og \(q_2 = +\mathrm{e}\) ligger i \(x = 0\). Punktet \(P_1\) ligger midt mellom dem, i \(x = -L/2\), og \(P_2\) ligger i \(x = L/2\).
a) Hva er det elektriske feltet i \(P_1\) og \(P_2\)?
b) Hva er kraften på en ladning \(Q = 2\mathrm{e}\) som plasseres i \(P_1\)? Enn om den plasseres i \(P_2\)?
a) Vi bruker \(\vec E_i = k\dfrac{q_i}{r_i^2}\hat r_i\) for hver ladning og legger sammen: \(\vec E = \vec E_1 + \vec E_2\).
Punkt \(P_1\): Avstanden til begge ladningene er \(L/2\). Enhetsvektoren fra \(q_1\) til \(P_1\) peker mot høyre, \(\hat r_1 = \hat e_x\), mens enhetsvektoren fra \(q_2\) til \(P_1\) peker mot venstre, \(\hat r_2 = -\hat e_x\). NB! Pass på retningen på enhetsvektorene. \[ \vec E = k\frac{-\mathrm{e}}{(L/2)^2}\,\hat e_x + k\frac{\mathrm{e}}{(L/2)^2}\,(-\hat e_x) = \underline{\underline{-\frac{8k\mathrm{e}}{L^2}\,\hat e_x}} \] Begge feltene peker mot venstre: bort fra \(q_2\) (positiv) og mot \(q_1\) (negativ).
Punkt \(P_2\): Nå ligger begge ladningene til venstre, så \(\hat r_1 = \hat r_2 = \hat e_x\). Avstanden til \(q_1\) er \(3L/2\), og til \(q_2\) er den \(L/2\): \[ \vec E = k\frac{-\mathrm{e}}{(3L/2)^2}\,\hat e_x + k\frac{\mathrm{e}}{(L/2)^2}\,\hat e_x = \frac{k\mathrm{e}}{L^2}\left(-\frac49 + 4\right)\hat e_x = \underline{\underline{\frac{32}{9}\,\frac{k\mathrm{e}}{L^2}\,\hat e_x}} \] Feltet peker mot høyre: \(q_2\) er nærmest og dominerer.
b) Kraften er \(\vec F = Q\vec E = 2\mathrm{e}\,\vec E\).
- I \(P_1\): \(\displaystyle \vec F = \underline{\underline{-\frac{16k\mathrm{e}^2}{L^2}\,\hat e_x}}\)
- I \(P_2\): \(\displaystyle \vec F = \underline{\underline{\frac{64}{9}\,\frac{k\mathrm{e}^2}{L^2}\,\hat e_x}}\)
Hvor sterkt er det elektriske feltet \(0{,}50\ \mathrm{m}\) fra en punktladning på \(q = +3{,}0\ \mathrm{nC}\)? Hvilken kraft får et elektron som plasseres der, og hvilken vei peker den?
\[ E = k\frac{q}{r^2} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{3{,}0\cdot10^{-9}}{(0{,}50)^2}\ \mathrm{N/C} \approx \underline{\underline{1{,}1\cdot10^{2}\ \mathrm{N/C}}} \] Kraften på elektronet: \[ F = \mathrm{e}E = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot108\ \mathrm{N} \approx \underline{\underline{1{,}7\cdot10^{-17}\ \mathrm{N}}} \] Feltet peker bort fra den positive ladningen, men elektronet er negativt, så kraften peker mot ladningen (tiltrekning).
Ladningen \(q_1 = +\mathrm{e}\) ligger i \(x = 0\) og \(q_2 = +4\mathrm{e}\) ligger i \(x = d\). Hvor på \(x\)-aksen er det elektriske feltet null?
Feltet kan bare bli null mellom ladningene, der feltene peker motsatt vei. Med punktet i \(x\): \[ k\frac{\mathrm{e}}{x^2} = k\frac{4\mathrm{e}}{(d - x)^2} \quad\Rightarrow\quad d - x = 2x \quad\Rightarrow\quad x = \underline{\underline{\frac d3}} \] Punktet ligger nærmest den minste ladningen, slik vi skulle vente.
I et punkt \(P\) er det elektriske feltet \(\vec E = 2{,}0\cdot10^{4}\ \mathrm{N/C}\) rettet nedover. Hvilken kraft får a) et proton og b) et elektron i \(P\)? c) Hvilken av dem får størst akselerasjon, og hvor mye større?
a) \(F = \mathrm{e}E = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot2{,}0\cdot10^{4}\ \mathrm{N} = \underline{\underline{3{,}2\cdot10^{-15}\ \mathrm{N}}}\), nedover (samme vei som feltet).
b) Like stor kraft, men oppover fordi ladningen er negativ.
c) \(a = F/m\), og kreftene er like store. Elektronet er mye lettere: \[ \frac{a_\mathrm{e}}{a_\mathrm{p}} = \frac{m_\mathrm{p}}{m_\mathrm{e}} = \frac{1{,}67\cdot10^{-27}}{9{,}11\cdot10^{-31}} \approx 1800 \] Elektronet får omtrent 1800 ganger større akselerasjon.