3.5 Sirkelbevegelse

Kapittel 3: Kinematikk

Sirkelbevegelse Vi Sirkelbevegelse er en form for krumlinjet bevegelse i planet som vi skal se ekstra nøye på.

Til ettertanke

I hvilken retning peker akselerasjonen i sirkelbevegelse?

Se for deg at du sitter i en bil som holder konstant høy fart gjennom en rundkjøring. Du vil oppleve at du presses ut mo høyre i bilen (gitt at bilens kjøreretning er overholder norske trafikkregler!). Men om vi zoomer ut av bilen og tar perspektivet til den forskrekkede måken som sitter på en flaggstand midt i rundkjøringen, så ser vi tydelig at det ikke er det som skjer. Det som egentlig skjer er at bilen stadig endrer kjøreretning. Dette fører til at du (som passasjer i bilen) stadig aksellereres inn mot sentrum! Denne akselerasjonen kalles sentripetalakselerasjon, og er altså grunnen til at det føles som om noe dytter deg ut av rundkjøringen, selv om det altså ikke er det som skjer.

Utledning av sentripetalakselerasjon I det følgende skal vi utlede et uttrykk for størrelsen på sentripetalakselerasjon. Se for deg et legeme (f.eks. en bil) som holder konstant fart i sirkelbevegelse. Selv om farten \(v\) forblir konstant så endrer harstighetsvektoren \(\vec{v}\) seg, ettersom retningen til farten endres. Ser vi på to tidspunkt hvor hastigheten endrer seg fra \(\vec{v}_1\) til \(\vec{v}_2\), kan vi bruke forholdet mellom de formlike trekantene for \(\Delta \vec{v}\) og \(\Delta \vec{s}\), som gir oss: \[\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta s}{r}.\] Der \(r\) er radiusen til sirkelen, og \(\Delta s\) er avstanden objektet har beveget seg langs sirkelen i løpet av et lite tidsintervall \(\Delta t\).

Utledning av sentripetalakselerasjon. Venstre: To nærliggende posisjoner \(P_1\) og \(P_2\) på sirkelbanen adskilt med vinkelen \(\Delta\theta\). Hastighetsvektorene \(\vec{v}_1\) og \(\vec{v}_2\) er tangenter til banen. Høyre: Hastighetstrekanten (vektorene lagt hale mot hale). De to trekantene er formlike med samme toppvinkel \(\Delta\theta\) og forholdssidene \(r\) og \(v\), slik at \(\Delta v/v = \Delta s/r\).

Formlikheten mellom trekantene er altså illustrert i figuren. Ved å multiplisere med \(v\) og dele på \(\Delta t\) finner vi nå

\[\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta r \cdot v}{\Delta t \cdot r}\]

For å finne størrelsen på momentanakselerasjonen så må vi la \(\Delta t \to 0\). Vi ser da at \(\Delta s\) blir mer og mer likt et lite buesegment, etterhvert som \(\Delta t \to 0\). Dermed finner vi \[a_\perp = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta r \cdot v}{\Delta t \cdot r}={v}\cdot \frac{v}{r}=\frac{v^2}{r},\] hvor vi har brukt at \(v=\Delta s/\Delta t\). Dette er formelen for sentripetalakselerasjon, som alltid peker mot sentrum av sirkelen og sørger for at objektet holdes i sirkelbanen.

Definisjon: Sentripetalakselerasjon

Sentripetalakselerasjonen er akselerasjonen inn mot sentrum i ren sirkelbevegelse med konstant fart. Uttrykket for størrelsen på denne akselerasjonen kan vises å være \[\begin{aligned} a_\perp = \frac{v^2}{r} \end{aligned}\] hvor \(v\) er banehastigheten til objektet og \(r\) er radiusen til sirkelen.

Sentripetalakselerasjonen peker alltid mot sentrum av sirkelen, selv om objektet hele tiden beveger seg langs kanten av sirkelen. Dette er en viktig idé å forstå når vi ser på bevegelse i sirkulære baner. Men… hva om bilen også øker farten sin langs sirkelbanen, og ikke bare endrer retning? I det tilfelel vil bilen både ha en akselerasjon inn mot sentrum (sentripetalakselerasjonen) og en akselerasjon i kjøreretningen (tangentialakselerasjonen). Den totale akselerasjonsvektoren kan da skrives som en sum av disse to komponentene: \[\vec{a} = \vec{a}_\perp + \vec{a}_\parallel,\] hvor \(\vec{a}_\perp\) er sentripetalakselerasjonen og \(\vec{a}_\parallel\) er tangentialakselerasjonen. I dette faget skal vi ikke se på slike tilfeller, men det er greit å ha sett sammenhengen.

Eksempel 3.13: Bil i rundkjøring

En bil kjører gjennom en rundkjøring med konstant fart \(v = 36\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\) og radius \(r = 20\,\mathrm{m}\). Hva er sentripetalakselerasjonen til bilen?

Vi starter med å gjøre om farten til \(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\): \[v = 36\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1} = 10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\] Deretter bruker vi formelen for sentripetalakselerasjon: \[a_\perp = \frac{v^2}{r} = \frac{(10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{20\,\mathrm{m}} = \frac{100\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}}{20\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{5.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\] Akselerasjonen peker hele tiden inn mot sentrum av rundkjøringen, selv om bilen beveger seg fremover.

Sykkel i sving

En syklist kjører gjennom en sirkulær sving med radius \(r = 12\,\mathrm{m}\) og konstant fart \(v = 5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\).

  1. Gjør om farten til \(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).

  2. Finn sentripetalakselerasjonen til syklisten.

  3. Hva skjer med sentripetalakselerasjonen om syklisten dobler farten? Forklar svaret.

a) Vi gjør om farten til SI-enheter: \[v = 5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1} = \underline{\underline{1.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]

b) Vi bruker formelen for sentripetalakselerasjon (se Sentripetalakselerasjon, figuren, i kompendiet): \[a_\perp = \frac{v^2}{r} = \frac{(1.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{12\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{0.19\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\]

c) Siden \(a_\perp \propto v^2\), vil en dobling av farten (\(v\to 2v\)) gi \[a_\perp' = \frac{(2v)^2}{r} = 4\cdot\frac{v^2}{r} = 4a_\perp,\] altså firedobles sentripetalakselerasjonen – den øker med kvadratet av farten, ikke proporsjonalt med farten.

Omløpstid

Når vi snakker om legemer som har periodisk bevegelse, slik som en satelitt rundt jorda, en planet eller en drill i en borerigg, så er det praktisk å definere begrepet periode, \(T\), også kalt omløpstid. Dette er rett og slett tiden brukt på ett omløp (én runde), Det viser seg at vi nå kan skrive om uttrykket for sentripetalakselerasjonen ved hjelp av omløpstiden. Farten i konstant sirkelbevegelse må nesten kunne uttrykkes som avstanden rundt sirkelen (omkretsen) delt på tiden det tar å fullføre ett omløp, altså \(T\). Vi får \[v = \frac{2\pi r}{T}.\] Ved å sette dette uttrykket for \(v\) inn i formelen for sentripetalakselerasjon, får vi \[\begin{aligned} \colorbox{black!7}{$\displaystyle a_\perp = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$} \end{aligned}\]

Eksempel 3.14: Jorda rundt sola

Jorda beveger seg i en tilnærmet sirkulær bane rundt sola med gjennomsnittlig radius \(r = 1.496\cdot 10^{11}\,\mathrm{m}\) og omløpstid \(T = 365.25\,\mathrm{d}\). Hva er den gjennomsnittlige sentripetalakselerasjonen jorda opplever?

Vi starter med å gjøre om omløpstiden til sekunder: \[T = 365.25\,\mathrm{d} \cdot \frac{24\,\mathrm{h}}{1\,\mathrm{d}} \cdot \frac{3600\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{h}} = 3.156\cdot 10^{7}\,\mathrm{s}\] Deretter setter vi inn i formelen for sentripetalakselerasjon: \[a_\perp = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 1.496\cdot 10^{11}\,\mathrm{m}}{\left(3.156\cdot 10^{7}\,\mathrm{s}\right)^2} = \underline{\underline{5.930\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\] Dette er omtrent \(6.1\cdot10^{-3}\) ganger tyngdeakselerasjonen \(\mathrm{g}\). Selv om akselerasjonen er svært liten, er det nok til å holde jorda i bane rundt sola — fordi tyngdekraften virker over en enorm avstand.

Sirkelbevegelse og omløpstid

Månens gjennomsnittlige avstand fra jorda er \(r = 3.84 \cdot 10^8\,\mathrm{m}\), og omløpstiden er \(T = 27.3\,\textrm{dager}\).

  1. Gjør om omløpstiden til sekunder.

  2. Finn sentripetalakselerasjonen månen opplever ved hjelp av formelen \(a_\perp = 4\pi^2 r / T^2\).

  3. Beregn månens banehastighet \(v = 2\pi r / T\) og verifiser svaret ved å bruke \(a_\perp = v^2/r\) og sammenlikne med svaret du fikk i b).

a) Vi gjør om omløpstiden til sekunder: \[T = 27.3\,\mathrm{d}\cdot\frac{24\,\mathrm{h}}{1\,\mathrm{d}}\cdot\frac{3600\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{h}} = \underline{\underline{2.359\cdot 10^{6}\,\mathrm{s}}}\]

b) Vi bruker formelen fra Omløpstid (se kompendiet): \[a_\perp = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \frac{4\pi^2\cdot3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}}{(2.359\cdot 10^{6}\,\mathrm{s})^2} = \underline{\underline{2.72\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}}\]

c) Banehastigheten er \[v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}}{2.359\cdot 10^{6}\,\mathrm{s}} = \underline{\underline{1.02\cdot 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}} \approx 1.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\] Som en verifikasjon bruker vi \(a_\perp = v^2/r\): \[a_\perp = \frac{(1.023\cdot 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}} \approx 2.72\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2},\] som stemmer godt overens med svaret i b).