Coulombs lov
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Kraften mellom to punktladninger
Kraften mellom to punktladninger \(q\) og \(Q\) i avstand \(r\) fra hverandre er gitt ved Coulombs lov:
\[ F = k\frac{|q\,Q|}{r^2}, \qquad k = 8{,}99\cdot10^{9}\ \mathrm{\frac{N\,m^2}{C^2}} \]
Merk at \[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \qquad \varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}}, \] der \(\varepsilon_0\) er vakuumpermittiviteten.
Legg merke til hvor lik Coulombs lov er gravitasjonsloven \(G = \gamma Mm/r^2\): begge avtar som \(1/r^2\). Forskjellene er at ladning kan ha begge fortegn, og at den elektriske kraften er enormt mye sterkere. Mellom et proton og et elektron er den elektriske kraften omtrent \(10^{39}\) ganger større enn gravitasjonskraften.
Formelen over gir bare størrelsen på kraften. Retningen finner vi med fortegnene: like ladninger frastøter, ulike tiltrekker.
Kraften som vektor
For å regne med flere ladninger trenger vi kraften som vektor. La \(\hat r\) være enhetsvektoren som peker fra ladningen \(q\) mot ladningen \(Q\). Da er kraften på \(Q\) \[ \vec F = k\frac{q\,Q}{r^2}\,\hat r \] Nå bestemmer fortegnet på produktet \(qQ\) retningen av seg selv: er \(qQ > 0\) (like ladninger), peker kraften langs \(\hat r\), altså bort fra \(q\). Er \(qQ < 0\), peker den mot \(q\).
En enhetsvektor har lengde 1 og forteller bare om en retning. Vi lager den ved å dele en vektor på sin egen lengde: \[ \hat r = \frac{\vec r}{|\vec r|} \] For enhetsvektorene langs aksene i et ortogonalt koordinatsystem gjelder \(\hat e_x\cdot\hat e_x = \hat e_z\cdot\hat e_z = 1\) og \(\hat e_x\cdot\hat e_z = 0\).
Superposisjon: kraften fra mange ladninger
Virker flere ladninger \(q_1, q_2, \dots, q_N\) på ladningen \(Q\), er den totale kraften summen av kreftene fra hver enkelt ladning:
\[ \vec F = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\frac{q_i}{r_i^2}\,\hat r_i \]
Her er \(r_i\) avstanden fra \(q_i\) til \(Q\), og \(\hat r_i\) peker fra \(q_i\) mot \(Q\).
Dette kalles superposisjonsprinsippet. Hver ladning virker på \(Q\) som om de andre ikke var der, og vi legger sammen vektorene til slutt. I praksis gjør vi det komponent for komponent.
Eksempel: Tre ladninger på en linje. Ladningen \(q_1 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) ligger i \(x = 0\), og \(q_2 = -3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) ligger i \(x = 0{,}40\ \mathrm{m}\). Finn kraften på \(Q = +1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) som ligger i \(x = 0{,}20\ \mathrm{m}\).
Begge avstandene er \(r = 0{,}20\ \mathrm{m}\).
- \(q_1\) er positiv og ligger til venstre: den frastøter \(Q\), altså mot høyre.
- \(q_2\) er negativ og ligger til høyre: den tiltrekker \(Q\), altså også mot høyre.
Begge kreftene peker i \(+x\)-retning, så vi kan legge sammen størrelsene: \[ F = \frac{k\,Q}{r^2}\big(|q_1| + |q_2|\big) = \frac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot1{,}0\cdot10^{-6}}{(0{,}20)^2}\,(2{,}0 + 3{,}0)\cdot10^{-6}\ \mathrm{N} \approx \underline{\underline{1{,}1\ \mathrm{N}}} \] i positiv \(x\)-retning.
I et hydrogenatom er avstanden mellom elektronet og protonet omtrent \(r = 5{,}3\cdot10^{-11}\ \mathrm{m}\). Finn den elektriske kraften mellom dem, og sammenlign med gravitasjonskraften. (\(m_\mathrm{e} = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \mathrm{kg}\), \(m_\mathrm{p} = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\), \(\gamma = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}\).)
Elektrisk kraft: \[ F_\mathrm{e} = k\frac{\mathrm{e}^2}{r^2} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{(1{,}60\cdot10^{-19})^2}{(5{,}3\cdot10^{-11})^2}\ \mathrm{N} \approx \underline{\underline{8{,}2\cdot10^{-8}\ \mathrm{N}}} \] Gravitasjonskraft: \[ F_\mathrm{g} = \gamma\frac{m_\mathrm{e}m_\mathrm{p}}{r^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{(5{,}3\cdot10^{-11})^2}\ \mathrm{N} \approx 3{,}6\cdot10^{-47}\ \mathrm{N} \] Forholdet er \(F_\mathrm{e}/F_\mathrm{g} \approx 2\cdot10^{39}\). I atomer kan vi trygt se bort fra gravitasjonen.
To punktladninger frastøter hverandre med kraften \(F\). Hva blir kraften hvis avstanden mellom dem dobles, og den ene ladningen samtidig tredobles?
\(F \propto \dfrac{qQ}{r^2}\). Tredobling av den ene ladningen gir faktor 3, dobling av avstanden gir faktor \(1/2^2 = 1/4\): \[ F' = \frac{3}{4}F \]
Ladningen \(q_1 = +4{,}0\ \mathrm{nC}\) ligger i \(x = 0\), og \(q_2 = +1{,}0\ \mathrm{nC}\) ligger i \(x = 0{,}30\ \mathrm{m}\). Hvor på \(x\)-aksen kan en tredje ladning \(Q\) plasseres slik at den totale kraften på den er null? Spiller fortegnet til \(Q\) noen rolle?
Mellom ladningene peker kreftene fra \(q_1\) og \(q_2\) i motsatt retning, så der kan de oppheve hverandre. Med \(Q\) i \(x\) (\(0 < x < 0{,}30\ \mathrm{m}\)): \[ k\frac{q_1 Q}{x^2} = k\frac{q_2 Q}{(0{,}30 - x)^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{0{,}30 - x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \frac12 \] \[ \Rightarrow\quad x = \underline{\underline{0{,}20\ \mathrm{m}}} \] \(Q\) forkortes bort, så verken størrelsen eller fortegnet til \(Q\) spiller noen rolle. (Utenfor ladningene peker begge kreftene samme vei, så der finnes ingen likevekt.)