8.6 Prosesstyper og pV-diagram

Kapittel 8: Termofysikk

Under arbeid

Dette kapittelet skrives fortsatt.

Tilstandslikninga \(pV = Nk_\text{B}T\) forbinder tre størrelser. Avhengig av hvilken som holdes konstant, skiller vi mellom tre idealprosesser:

Prosesstype Konstant Sammenheng Eksempel
Isokor \(V =\) konst. \(p/T =\) konst. Trykkbeholder
Isobar \(p =\) konst. \(V/T =\) konst. Stempel under atm. trykk
Isoterm \(T =\) konst. \(pV =\) konst. Sakte kompresjon

Et \(pV\)-diagram viser trykket \(p\) som funksjon av volumet \(V\). Arealet under kurven tilsvarer arbeidet gassen gjør (eller arbeidet som gjøres på gassen).

\(pV\)-diagram for tre prosesser som starter i punkt A. Isokor (rød): volumet er konstant, trykket synker — bare A\(\to\)B. Isobar (blå): trykket er konstant, volumet øker — A\(\to\)C. Isoterm (grønn): temperaturen er konstant, \(pV\) er konstant — A\(\to\)D.

For en isobar prosess er arealet under linjen et rektangel med høyde \(p\) og bredde \(\Delta V\). Arbeidet gassen gjør på omgivelsene, er da \[W_\text{gass} = p\,\Delta V\] I termodynamikkens 1. lov er \(W\) arbeidet som gjøres på gassen. Når gassen utvider seg (\(\Delta V > 0\)), gjør den arbeid på omgivelsene, og \(W = -p\,\Delta V\) er negativ. Når gassen presses sammen, er \(W\) positiv.

Eksempel 8.13: Arbeid ved isobar utvidelse

En gass i en sylinder har trykket \(2.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\). Gassen varmes opp og utvider seg ved konstant trykk fra \(1.0\,\mathrm{L}\) til \(3.0\,\mathrm{L}\).

  1. Tegn prosessen i et \(pV\)-diagram, og finn arbeidet gassen gjør.

  2. Under prosessen tilføres \(1.0\,\mathrm{kJ}\) varme. Finn endringen i den indre energien.

a) Prosessen er en horisontal linje i \(pV\)-diagrammet. Arbeidet gassen gjør, er arealet under linjen (det fargede rektangelet):

Isobar utvidelse. Arealet under linjen er arbeidet gassen gjør.

Med \(\Delta V = 3.0\,\mathrm{L} - 1.0\,\mathrm{L} = 2.0\,\mathrm{L} = 2.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}\): \[W_\text{gass} = p\,\Delta V = 2.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\cdot2.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3} = \underline{\underline{4.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{J}}}\]

b) Gassen gjør arbeid på omgivelsene, så \(W = -4.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{J}\) i 1. lov: \[\Delta U = Q + W = 1.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{J} - 4.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{J} = \underline{\underline{6.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{J}}}\] Bare \(60\,\%\) av varmen går til å øke den indre energien. Resten blir til arbeid på stempelet.

Arbeid i et pV-diagram

En gass utvider seg ved konstant trykk \(p = 150\,\mathrm{kPa}\), fra volumet \(2.0\,\mathrm{L}\) til \(5.0\,\mathrm{L}\).

  1. Tegn prosessen i et \(pV\)-diagram.

  2. Finn arbeidet gassen gjør på omgivelsene. Hva blir \(W\) i termodynamikkens 1. lov?

  3. Under prosessen blir det tilført \(1.1\,\mathrm{kJ}\) varme til gassen. Finn endringen i den indre energien til gassen.

a) Trykket er konstant, så prosessen er en horisontal linje fra \(2.0\,\mathrm{L}\) til \(5.0\,\mathrm{L}\). Arealet under linjen er arbeidet gassen gjør.

b) Arbeidet gassen gjør, er arealet under linjen. Med \(\Delta V = 5.0\,\mathrm{L} - 2.0\,\mathrm{L} = 3.0\,\mathrm{L} = 3.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}\): \[W_\text{gass} = p\,\Delta V = 150\cdot 10^{3}\,\mathrm{Pa}\cdot3.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3} = \underline{\underline{4.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{J}}}\] I 1. lov er \(W\) arbeidet som gjøres på gassen. Gassen gjør arbeid på omgivelsene, så \(W = \underline{\underline{-4.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{J}}}\).

c) \[\Delta U = Q + W = 1.1\cdot 10^{3}\,\mathrm{J} - 4.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{J} = \underline{\underline{6.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{J}}}\]

To prosesser etter hverandre

En gass er i tilstand A med trykk \(p_\text{A} = 100\,\mathrm{kPa}\), volum \(V_\text{A} = 4.0\,\mathrm{L}\) og temperatur \(T_\text{A} = 300\,\mathrm{K}\). Gassen blir først presset sammen isotermt til volumet \(1.0\,\mathrm{L}\) (tilstand B). Deretter blir den varmet opp ved konstant volum til \(600\,\mathrm{K}\) (tilstand C).

  1. Finn trykket i tilstand B.

  2. Finn trykket i tilstand C.

  3. Skisser de to prosessene i et \(pV\)-diagram.

  4. Gjør gassen noe arbeid fra B til C? Begrunn svaret.

a) A til B er isoterm (\(T\) konstant), så \(pV\) er konstant: \[p_\text{A}V_\text{A} = p_\text{B}V_\text{B} \quad\implies\quad p_\text{B} = p_\text{A}\cdot\frac{V_\text{A}}{V_\text{B}} = 100\,\mathrm{kPa}\cdot\frac{4.0\,\mathrm{L}}{1.0\,\mathrm{L}} = \underline{\underline{4.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{kPa}}}\]

b) B til C er isokor (\(V\) konstant), så \(p/T\) er konstant. Temperaturen i B er fortsatt \(300\,\mathrm{K}\): \[p_\text{C} = p_\text{B}\cdot\frac{T_\text{C}}{T_\text{B}} = 4.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{kPa}\cdot\frac{600\,\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K}} = \underline{\underline{8.0\cdot 10^{2}\,\mathrm{kPa}}}\]

c) Fra A til B følger gassen en isoterm, en kurve der \(pV\) er konstant. Fra B til C går gassen rett opp, fordi volumet er konstant.

d) Nei. Fra B til C er volumet konstant. Stempelet beveger seg ikke, og arealet under linjen i \(pV\)-diagrammet er null. Da er \(W = 0\), og all varmen som tilføres, går til å øke den indre energien.