4.5 Bevaring av bevegelsesmengde

Kapittel 4: Dynamikk

Tidligere i dette kapitlet definerte vi bevegelsesmengde som \(\vec{p} = m\vec{v}\), og vi nevnte at bevegelsesmengde er bevart i isolerte systemer. Nå skal vi se nøye på hva dette betyr, og vise hvorfor det er sant.

* Interne og ytre krefter. Tenk deg to biljardkuler som kolliderer (figuren). De utøver krefter på hverandre i kollisjonsøyeblikket — dette er interne krefter i systemet av to kuler. Dersom vi ser bort fra friksjon mot bordet og luftmotstand, er summen av ytre krefter på systemet lik 0. Et slikt system kaller vi isolert.

Biljardkollisjon. Kreftene \(\vec{F}_{BA}\) og \(\vec{F}_{AB}\) er interne og like store (Newtons 3. lov). Ved elastisk støt mellom like kuler stopper A og B overtar hele farten.

* Utledning fra Newtons lover. Vi ser på to legemer A og B som vekselvirker. Newtons 3. lov sier at kreftene de utøver på hverandre er like store og motsatt rettet: \[\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA},\] der \(\vec{F}_{BA}\) er kraften B utøver på A og \(\vec{F}_{AB}\) er kraften A utøver på B.

Fra Newtons 2. lov er kraft lik endring i bevegelsesmengde per tidsenhet: \[\vec{F}_{BA} = \frac{\Delta\vec{p}_A}{\Delta t}, \qquad \vec{F}_{AB} = \frac{\Delta\vec{p}_B}{\Delta t}.\] Legger vi disse to uttrykkene sammen og bruker Newtons 3. lov: \[\frac{\Delta\vec{p}_A}{\Delta t} + \frac{\Delta\vec{p}_B}{\Delta t} = \vec{F}_{BA} + \vec{F}_{AB} = \vec{0}.\] Det betyr at: \[\frac{\Delta\!\left(\vec{p}_A + \vec{p}_B\right)}{\Delta t} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{p}_{tot} = \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{konstant}.\] Den totale bevegelsesmengden endrer seg ikke. Dette følger direkte av Newtons 2. og 3. lov — ingen ny antagelse er nødvendig.

Definisjon: Bevaring av bevegelsesmengde

Dersom summen av ytre krefter på et system er null, \[\sum \vec{F}_{ytre} = \vec{0},\] er den totale bevegelsesmengden til systemet bevart: \[\vec{p}_{tot} = \text{konstant}.\] For to legemer med masser \(m_1\) og \(m_2\) skrives dette som: \[m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2\] der bokstaven \(v\) betegner hastighetene før kollisjonen eller hendelsen, og bokstaven \(u\) betegner hastighetene etter.

Tips: For deg som kjenner derivasjon

Newtons 2. lov kan skrives i sin mest generelle form ved hjelp av derivasjon: \[\sum\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\] Her er \(\frac{d\vec{p}}{dt}\) den deriverte av bevegelsesmengden med hensyn på tid — altså hvor raskt \(\vec{p}\) endrer seg.

Dersom summen av ytre krefter er null, \(\sum\vec{F}_{ytre} = \vec{0}\), gir dette direkte: \[\frac{d\vec{p}_{tot}}{dt} = \vec{0}\] En funksjon med derivert lik null er konstant. Dermed følger bevaringsloven umiddelbart: \(\vec{p}_{tot} = \text{konstant}\). Ingen nye antagelser trengs — loven er en direkte konsekvens av Newtons 2. lov.

Impuls: Vi har altså sett at \[\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\vec{F}\quad\text{som medfører}\quad \Delta\vec{p}=\vec{F}\,\Delta t.\]

Dette viser at kraft virket over tid gir endring i bevegelsesmengde. I virkeligheten varierer kraften under et kraftstøt — tenk på hockeykøllens slag mot pucken: kraften stiger raskt og faller igjen. For dem som kjenner integraler: \(\Delta\vec{p} = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt\), altså arealet under \(F(t)\)-kurven (figuren). I det enklere tilfellet med konstant kraft er dette arealet nøyaktig rektangelet \(F\cdot\Delta t\).

Endringen i bevegelsesmengde forårsaket av et slikt kraftstøt kalles impuls. I dette faget skal vi ikke bruke dette begrepet noe videre.

Arealet under \(F(t)\)-kurven er lik endringen i bevegelsesmengde \(\Delta p\). Kraften varierer typisk under et støt.

Algoritme for løsning Fremgangsmåten i slike oppgaver er alltid den samme:

  1. Identifiser systemet og sjekk at ytre krefter er null (eller neglisjerbare).

  2. Velg en positiv retning.

  3. Skriv opp bevaringsligningen: \(\vec{p}_{tot,\,\text{før}} = \vec{p}_{tot,\,\text{etter}}\).

  4. Løs for den ukjente.

* Rekyl. Et klassisk eksempel er rekyl fra et gevær. Før avfyringen er kula og geværet i ro — den totale bevegelsesmengden er null. Etter avfyringen beveger kula seg raskt fremover og geværet sakte bakover, men de to bidragene kansellerer nøyaktig, slik at totalen fortsatt er null.

Eksempel 4.15: Rekyl fra gevær

Et gevær med masse \(M = 3.0\,\mathrm{kg}\) avfyres horisontalt. En kule med masse \(m = 10\,\mathrm{g} = 0.010\,\mathrm{kg}\) forlater løpet med fart \(u = 800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) fremover. Både geværet og kula er i ro før avfyringen.

Finn rekylhastigheten \(U\) til geværet.

Vi velger fremover som positiv retning (\(+x\)). Siden alt er i ro før avfyringen: \[p_{tot,\,\text{før}} = 0\] Det virker ingen ytre horisontale krefter i avfyringsøyeblikket, så bevegelsesmengden er bevart: \[\begin{aligned} p_{tot,\,\text{etter}} &= p_{tot,\,\text{før}} = 0\\[4pt] mu + MU &= 0\\[4pt] U &= -\frac{mu}{M} \end{aligned}\] Setter inn tallene: \[U = -\frac{0.010\,\mathrm{kg}\cdot800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{3.0\,\mathrm{kg}} = \underline{\underline{-2.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] Minustegnet viser at geværet beveger seg bakover — det er det vi kjenner som rekyl.

* Støt mellom legemer. Det vanligste bruksområdet for bevaring av bevegelsesmengde er kollisjoner. Vi skiller mellom to typer: ved et fullstendig uelastisk støt henger legemene fast i hverandre etter kollisjonen og beveger seg som ett objekt, mens de ved et elastisk støt spretter fra hverandre og bevarer i tillegg den kinetiske energien. I begge tilfeller er bevegelsesmengden bevart, men ved uelastisk støt omdannes en del av den kinetiske energien til andre energiformer, som varme, lyd eller deformasjon. Vi skal komme tilbake til dette i neste kapittel.

Eksempel 4.16: Uelastisk støt: vogner som kolliderer og henger fast

En vogn med masse \(m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}\) ruller med fart \(v_1 = 3.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) og støter inn i en vogn med masse \(m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}\) som er i ro. Vognene henger seg fast i hverandre etter støtet.

Finn den felles farten \(u\) til de sammenkoblede vognene.

Vi velger \(+x\) langs bevegelsesretningen til vogn 1.

Bevaringsligningen: \[\begin{aligned} m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 &= (m_1 + m_2)\,u\\[4pt] u &= \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \end{aligned}\] Setter inn tallene: \[u = \frac{2.0\,\mathrm{kg}\cdot3.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{3.0\,\mathrm{kg}} = \underline{\underline{2.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] De sammenkoblede vognene beveger seg med \(2.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) i samme retning som vogn 1.

To skøyteløpere

Oda (\(m_O = 55\,\mathrm{kg}\)) og Per (\(m_P = 80\,\mathrm{kg}\)) står i ro på isen og skyver fra hverandre. Etter skyvingen beveger Oda seg med fart \(4.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) i én retning.

  1. Hva er Pers hastighet etter skyvingen?

  2. Hva er bevegelsesmengden til hvert av dem etter skyvingen? Kommenter svaret.

Oda og Per utgjør et isolert system (vi ser bort fra friksjon mot isen), så bevegelsesmengden er bevart (se avsnitten), akkurat som i eksempelet Rekyl fra gevær. Før skyvingen er alt i ro, \(p_{tot,\,\text{før}}=0\). Vi velger Odas bevegelsesretning som positiv.

a) Bevaringslikningen gir \[0 = m_O u_O + m_P u_P \quad\Rightarrow\quad u_P = -\frac{m_O u_O}{m_P} = -\frac{55\,\mathrm{kg}\cdot4.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{80\,\mathrm{kg}} = -2.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} \approx \underline{\underline{-2.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] Per beveger seg altså med \(2.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) i motsatt retning av Oda.

b) Bevegelsesmengden til hver av dem: \[p_O = m_O u_O = 55\,\mathrm{kg}\cdot4.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 220\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} \approx \underline{\underline{2.2\cdot 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] \[p_P = m_P u_P = 80\,\mathrm{kg}\cdot(-2.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}) = -220\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} \approx \underline{\underline{-2.2\cdot 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] Bevegelsesmengdene er like store og motsatt rettet, slik at summen fortsatt er null – akkurat som før skyvingen. Dette er nøyaktig det bevaringsloven sier skal skje.

Bilkollisjon

En bil med masse \(m_1 = 1200\,\mathrm{kg}\) kjører med fart \(20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) mot en bil med masse \(m_2 = 1000\,\mathrm{kg}\) som kjører i motsatt retning med fart \(15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\). Bilene henger fast etter kollisjonen.

  1. Hva er den totale bevegelsesmengden til systemet før kollisjonen?

  2. Finn farten og retningen til bilene etter kollisjonen.

Vi velger bil 1 sin bevegelsesretning som positiv, slik at \(v_1=20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) og \(v_2=-15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) (motsatt retning). Dette er et fullstendig uelastisk støt (bilene henger fast), analogt med eksempelet Uelastisk støt: vogner som kolliderer i avsnitten.

a) Total bevegelsesmengde før kollisjonen: \[p_{tot,\,\text{før}} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 1200\,\mathrm{kg}\cdot20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} + 1000\,\mathrm{kg}\cdot(-15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}) = \underline{\underline{9.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]

b) Siden bevegelsesmengden er bevart, og bilene beveger seg som én masse \(m_1+m_2\) etter kollisjonen: \[p_{tot,\,\text{før}} = (m_1+m_2)\,u \quad\Rightarrow\quad u = \frac{p_{tot,\,\text{før}}}{m_1+m_2} = \frac{9000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{2200\,\mathrm{kg}} = 4.09\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} \approx \underline{\underline{4.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] Farten er positiv, så bilvraket beveger seg videre i samme retning som bil 1 (den tyngste og raskeste av de to) etter sammenstøtet.