Arbeid og kinetisk energi

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Arbeid

Arbeid \(W\) er hvor mye en kraft \(\vec F\) virker langs en strekning:

\[ W = \int \vec F\cdot\mathrm{d}\vec s \]

Prikken er et skalarprodukt: bare den delen av kraften som peker langs bevegelsen, gjør arbeid. Er kraften konstant og vinkelen mellom kraft og forflytning \(\theta\), blir \[ W = F\,s\cos\theta \] Enheten er \(\mathrm{N\,m} = \mathrm{J}\) (joule).

  • Peker kraften med bevegelsen (\(\theta < 90^\circ\)), er arbeidet positivt: kraften gir energi.
  • Står kraften vinkelrett på bevegelsen (\(\theta = 90^\circ\)), er arbeidet null. Normalkraften på en bil på flat vei gjør ikke noe arbeid.
  • Peker kraften mot bevegelsen (\(\theta > 90^\circ\)), er arbeidet negativt. Friksjon tar energi.

Arbeid fra en fjær

Strekker du en fjær ut lengden \(x\) fra likevekt, må du dra med \(F = kx\), som øker underveis. Arbeidet blir arealet under \(F(x)\): \[ W = \int_0^x kx'\,\mathrm{d}x' = \tfrac12 kx^2 \]

Kinetisk energi og arbeid-energi-setningen

Kinetisk energi er energien et legeme har fordi det beveger seg:

\[ E_K = \tfrac12 mv^2 \]

Arbeidet fra summen av alle kreftene på et legeme blir til endring i kinetisk energi. Dette er arbeid-energi-setningen:

\[ W_{\sum F} = \Delta E_K = \tfrac12 mv^2 - \tfrac12 mv_0^2 \]

Den følger av Newtons 2. lov: \(\int\sum F\,\mathrm{d}s = \int m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}s = \int mv\,\mathrm{d}v = \frac12 mv^2 - \frac12 mv_0^2\).

Eksempel: Friksjonsarbeid. En bil med masse \(1200\ \mathrm{kg}\) bremser med låste hjul fra \(72\ \mathrm{km/h}\) til \(36\ \mathrm{km/h}\) på flat vei.

a) Hvor stort arbeid gjør friksjonskraften? Friksjonen er den eneste kraften langs bevegelsen, så \[ W_f = \Delta E_K = \tfrac12\cdot1200\ \mathrm{kg}\left[\left(\tfrac{36}{3{,}6}\right)^2 - \left(\tfrac{72}{3{,}6}\right)^2\right]\mathrm{m^2/s^2} = -0{,}18\ \mathrm{MJ} \] Minus: friksjonen tar energi fra bilen (den blir til varme i dekk og vei).

b) Med \(\mu = 0{,}90\), hvor lang er bremsestrekningen? Loddrett er \(N = m\mathrm{g}\), så \(a = -f/m = -\mu\mathrm{g}\), som er konstant: \[ 2as = v^2 - v_0^2 \quad\Rightarrow\quad s = -\frac{v^2 - v_0^2}{2\mu\mathrm{g}} = \frac{20^2 - 10^2}{2\cdot0{,}90\cdot9{,}81}\ \mathrm{m} \approx 17\ \mathrm{m} \]

  1. En bil med masse \(M = 1{,}5\) tonn kjører i \(30\ \mathrm{km/h}\). Hva er den kinetiske energien?

  2. En kule på \(m = 8{,}0\ \mathrm{g}\) går med \(v = 350\ \mathrm{m/s}\). Hva er dens kinetiske energi, og hvor fort måtte bilen kjørt for å ha like mye?

a) \(E_K = \frac12\cdot1500\ \mathrm{kg}\cdot\left(\frac{30}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}\right)^2 \approx \underline{\underline{52\ \mathrm{kJ}}}\)

b) \(E_K = \frac12\cdot0{,}0080\ \mathrm{kg}\cdot(350\ \mathrm{m/s})^2 = \underline{\underline{490\ \mathrm{J}}}\). Samme energi for bilen: \[ \tfrac12 Mv_B^2 = \tfrac12 mv_K^2 \quad\Rightarrow\quad v_B = \sqrt{\frac{m}{M}}\,v_K = \sqrt{\frac{0{,}0080}{1500}}\cdot350\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{0{,}81\ \mathrm{m/s}}} \] Det er bare ca. \(2{,}9\ \mathrm{km/h}\), gangfart. En liten, rask kule har lite energi sammenlignet med en tung bil.

Det kreves et arbeid \(W = 500\ \mathrm{J}\) for å strekke en fjær \(x = 5{,}0\ \mathrm{cm}\). Fjæra følger Hookes lov. Finn fjærkonstanten \(k\).

Arbeidet er \(W = \frac12 kx^2\), så \[ k = \frac{2W}{x^2} = \frac{2\cdot500\ \mathrm{J}}{(0{,}050\ \mathrm{m})^2} = \underline{\underline{0{,}40\ \mathrm{MN/m}}} \] Enheten: \(\mathrm{J/m^2} = \mathrm{N\,m/m^2} = \mathrm{N/m}\). ✓

I tidsrommet \(0 \le t \le 0{,}9\ \mathrm{s}\) påvirkes et løv av kraften \(\vec F(t) = [0{,}5\ \mathrm{N/s^2}\cdot t^2,\ 3\ \mathrm{N}]\), og får hastigheten \(\vec v(t) = [3\ \mathrm{m/s^3}\cdot t^2,\ e^{t/2{,}1\,\mathrm{s}}\ \mathrm{m/s}]\). Hvor stort arbeid gjør vinden på løvet i \(x\)-retning?

Vi skriver om arbeidet til et integral over tid, med \(\mathrm{d}\vec s = \vec v\,\mathrm{d}t\): \[ W = \int\vec F\cdot\mathrm{d}\vec s = \int\vec F\cdot\frac{\mathrm{d}\vec s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \int\vec F\cdot\vec v\,\mathrm{d}t \] I \(x\)-retning: \[ W_x = \int_0^{0{,}9} 0{,}5t^2\cdot3t^2\,\mathrm{d}t = 1{,}5\left[\frac{t^5}{5}\right]_0^{0{,}9} \approx 0{,}177\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{0{,}2\ \mathrm{J}}} \]