Elektrisk potensiell energi

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Konservative krefter

Når ei kraft gjør arbeid, endres den kinetiske energien: \(W = \Delta E_K\).

Definisjon: Konservativ kraft

En konservativ kraft er ei kraft som kan skrives på formen \[ \vec F = -\vec\nabla U, \] der \(U\) er en skalar funksjon som kalles den potensielle energien.

\(\vec\nabla U\) er gradienten til \(U\): en vektor som peker dit \(U\) øker raskest. Minustegnet betyr at kraften dytter mot lavere potensiell energi, slik tyngdekraften trekker ting nedover. I én dimensjon er det bare \(F = -\mathrm{d}U/\mathrm{d}x\).

Både tyngdekraft og elektrisk kraft er konservative krefter. Arbeidet en konservativ kraft gjør, er veiuavhengig: \[ W = \int_A^B \vec F\cdot\mathrm{d}\vec r = -\int_A^B \vec\nabla U\cdot\mathrm{d}\vec r = -\big(U(B) - U(A)\big) = -\Delta U \]

For konservative krefter har vi altså

\[ W = -\Delta U \]

Da ser vi også at størrelsen \(E = E_K + U\) er bevart for konservative krefter: \[ \Delta E = \Delta U + \Delta E_K = -W + W = 0 \]

Potensiell energi for ladninger

For elektriske krefter definerer vi at den potensielle energien er null uendelig langt unna: \(U(r\to\infty) = 0\). Regner man ut \(-\Delta U = W = \int\vec F\cdot\mathrm{d}\vec s\) med Coulombs lov, får man:

Punktladning: to ladninger \(Q\) og \(q\) i avstand \(r\) \[ U(r) = k\frac{Q\,q}{r} \] Samling punktladninger: \(Q\) og ladningene \(q_1, \dots, q_N\) i avstandene \(r_1, \dots, r_N\) \[ U = kQ\sum_{i=1}^{N}\frac{q_i}{r_i} \] Homogent felt: ladningen \(Q\) i avstand \(d\) «oppstrøms» i feltet \(E\) \[ U = Q\,E\,d \]

Legg merke til at feltet avtar som \(E \propto 1/r^2\), mens den potensielle energien avtar langsommere, som \(U \propto 1/r\). Det homogene feltet er den elektriske tvillingen til \(U = m\mathrm{g}h\): der er \(m\mathrm{g}\) byttet ut med \(QE\), og \(d\) måles mot feltretningen, slik \(h\) måles mot tyngdekraften.

Fortegnet forteller om ladningene tiltrekker eller frastøter. For like ladninger er \(U > 0\), og energien øker når de skyves sammen. For ulike ladninger er \(U < 0\): Systemet har lavere energi når ladningene er nær hverandre.

Eksempel: Kinetisk energi til en ladet partikkel. (Basert på eksempel 7.1 i OpenStax University Physics, bind 2, CC BY 4.0.) En ladning \(Q = +3{,}0\ \mathrm{nC}\) ligger i ro i avstand \(r_1 = 10\ \mathrm{cm}\) fra en fast ladning \(q = +5{,}0\ \mathrm{nC}\) i origo. Coulombkraften skyver \(Q\) bort fra \(q\), til den når \(r_2 = 15\ \mathrm{cm}\).

a) Hvor stort arbeid gjør det elektriske feltet mellom \(r_1\) og \(r_2\)?
b) Hvor stor kinetisk energi har \(Q\) i \(r_2\)?

a) Vi bruker definisjonen av arbeid: \[ W = \int_{r_1}^{r_2}\vec F\cdot\mathrm{d}\vec r = \int_{r_1}^{r_2} k\frac{qQ}{r^2}\,\hat r\cdot\mathrm{d}\vec r \] Bevegelsen er rett ut fra \(q\), så \(\mathrm{d}\vec r = \mathrm{d}r\,\hat r\). Da er \(\hat r\cdot\mathrm{d}\vec r = \hat r\cdot\hat r\,\mathrm{d}r = \mathrm{d}r\), siden \(\hat r\cdot\hat r = 1\): \[ W = \int_{r_1}^{r_2} k\frac{qQ}{r^2}\,\mathrm{d}r = \left[-k\frac{qQ}{r}\right]_{r_1}^{r_2} = kqQ\left[\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right] \] \[ W = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot5{,}0\cdot10^{-9}\cdot3{,}0\cdot10^{-9}\left[\frac{1}{0{,}10} - \frac{1}{0{,}15}\right]\mathrm{J} = \underline{\underline{4{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm{J}}} \] Vi brukte \(\int x^n\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) med \(n = -2\). Legg merke til at \(W = U(r_1) - U(r_2) = -\Delta U\), akkurat som det skal.

b) Energien er bevart og \(Q\) startet i ro, så \[ W = \Delta E_K \quad\Rightarrow\quad E_K = \underline{\underline{4{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm{J}}} \]

Eksempel: Endring i potensiell energi. (Eksempel 7.2 i OpenStax.) Samme situasjon som over. Hva er endringen i den potensielle energien til systemet med to ladninger fra \(r_1\) til \(r_2\)?

Vi vet at \(W = -\Delta U\), så fra eksempelet over: \[ \Delta U = -W = \underline{\underline{-4{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm{J}}} \] Om vi ikke allerede hadde regnet ut \(W\), kunne vi brukt at for en ladning i feltet fra en punktladning er \(U(r) = k\dfrac{qQ}{r}\): \[ \Delta U = U(r_2) - U(r_1) = kqQ\left[\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right] \] Det ville gitt det samme. Den potensielle energien som går tapt, blir til kinetisk energi.

Arbeid for å samle ladninger

Skal vi samle flere ladninger, må noen utenfra gjøre et arbeid mot de elektriske kreftene. Arbeidet som må gjøres utenfra, er \(W = -W_\mathrm{el} = -(-\Delta U) = \Delta U\). Henter vi ladningene inn én og én fra uendelig langt unna, blir det samlede arbeidet

\[ W = \sum_{i=1}^{N}\int\vec F_i\cdot\mathrm{d}\vec r = \sum_{i=1}^{N}\Delta U_i = \sum_{i=1}^{N} U(r_i) \]

der \(r_i\) er avstanden mellom ladningene. Rekkefølgen er uviktig.

Eksempel: Fire positive ladninger. (Basert på eksempel 7.3 i OpenStax University Physics, bind 2, CC BY 4.0.) Hvor stort arbeid må gjøres utenfra for å samle fire ladninger på \(+2{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(+3{,}0\ \mu\mathrm{C}\), \(+4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) og \(+5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) i hjørnene av et kvadrat med sider \(1{,}0\ \mathrm{cm}\), når hver ladning hentes fra uendelig langt unna?

Vi bruker \(U(r) = k\dfrac{Qq}{r}\) og \(W = \Delta U = U_\mathrm{slutt} - U_\mathrm{start}\), der \(U_\mathrm{start} = 0\) fordi ladningen kommer fra uendelig langt unna.

Steg 1: Den første ladningen (\(2{,}0\ \mu\mathrm{C}\)) har ingen andre ladninger å kjempe mot: \(W_1 = 0\).

Steg 2: \(3{,}0\ \mu\mathrm{C}\) hentes inn til \(1{,}0\ \mathrm{cm}\) fra \(2{,}0\ \mu\mathrm{C}\): \[ W_2 = k\frac{2{,}0\ \mu\mathrm{C}\cdot3{,}0\ \mu\mathrm{C}}{1{,}0\ \mathrm{cm}} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{6{,}0\cdot10^{-12}}{0{,}010}\ \mathrm{J} \approx 5{,}4\ \mathrm{J} \]

Steg 3: \(4{,}0\ \mu\mathrm{C}\) hentes inn til \(\sqrt2\ \mathrm{cm}\) fra \(2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) og \(1{,}0\ \mathrm{cm}\) fra \(3{,}0\ \mu\mathrm{C}\): \[ W_3 = k\left[\frac{2{,}0\ \mu\mathrm{C}\cdot4{,}0\ \mu\mathrm{C}}{\sqrt2\ \mathrm{cm}} + \frac{3{,}0\ \mu\mathrm{C}\cdot4{,}0\ \mu\mathrm{C}}{1{,}0\ \mathrm{cm}}\right] \approx 15{,}9\ \mathrm{J} \]

Steg 4: \(5{,}0\ \mu\mathrm{C}\) hentes inn til \(1{,}0\ \mathrm{cm}\) fra \(2{,}0\ \mu\mathrm{C}\) og \(4{,}0\ \mu\mathrm{C}\), og \(\sqrt2\ \mathrm{cm}\) fra \(3{,}0\ \mu\mathrm{C}\): \[ W_4 = k\left[\frac{5{,}0\cdot2{,}0}{1{,}0\ \mathrm{cm}} + \frac{5{,}0\cdot4{,}0}{1{,}0\ \mathrm{cm}} + \frac{5{,}0\cdot3{,}0}{\sqrt2\ \mathrm{cm}}\right](\mu\mathrm{C})^2 \approx 36{,}5\ \mathrm{J} \]

Til sammen: \[ W = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 0 + 5{,}4\ \mathrm{J} + 15{,}9\ \mathrm{J} + 36{,}5\ \mathrm{J} = \underline{\underline{57{,}8\ \mathrm{J}}} \] Arbeidet er positivt: Alle ladningene er positive og frastøter hverandre, så vi må presse dem sammen. Prøv gjerne å hente dem inn i en annen rekkefølge. Svaret blir det samme.

Hvor stor er den elektriske potensielle energien til to protoner i avstanden \(r = 2{,}0\cdot10^{-15}\ \mathrm{m}\) (omtrent avstanden i en atomkjerne)? Oppgi svaret i joule og i elektronvolt (\(1\ \mathrm{eV} = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}\)).

\[ U = k\frac{\mathrm{e}^2}{r} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{(1{,}60\cdot10^{-19})^2}{2{,}0\cdot10^{-15}}\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{1{,}2\cdot10^{-13}\ \mathrm{J}}} \] \[ U = \frac{1{,}15\cdot10^{-13}}{1{,}60\cdot10^{-19}}\ \mathrm{eV} \approx \underline{\underline{0{,}72\ \mathrm{MeV}}} \] Så mye energi må til for å presse to protoner så nær hverandre. Den sterke kjernekraften holder dem likevel sammen i kjernen.

Tre ladninger \(q = +1{,}0\ \mu\mathrm{C}\) skal plasseres i hjørnene av en likesidet trekant med sider \(a = 5{,}0\ \mathrm{cm}\). Hvor stort arbeid må gjøres utenfra?

Det er tre par, hvert med avstand \(a\): \[ W = 3\cdot k\frac{q^2}{a} = 3\cdot8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{(1{,}0\cdot10^{-6})^2}{0{,}050}\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{0{,}54\ \mathrm{J}}} \]

Et proton skytes rett mot en fast gullkjerne (ladning \(79\mathrm{e}\)) med kinetisk energi \(E_K = 5{,}0\ \mathrm{MeV}\). Hvor nær kjernen kommer protonet før det snur?

Energien er bevart. Langt unna er \(U = 0\), og der protonet snur er \(E_K = 0\): \[ E_K = k\frac{79\mathrm{e}\cdot\mathrm{e}}{r_\mathrm{min}} \quad\Rightarrow\quad r_\mathrm{min} = \frac{79k\mathrm{e}^2}{E_K} \] Med \(E_K = 5{,}0\cdot10^{6}\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{J} = 8{,}0\cdot10^{-13}\ \mathrm{J}\): \[ r_\mathrm{min} = \frac{79\cdot8{,}99\cdot10^{9}\cdot(1{,}60\cdot10^{-19})^2}{8{,}0\cdot10^{-13}}\ \mathrm{m} \approx \underline{\underline{2{,}3\cdot10^{-14}\ \mathrm{m}}} \] Dette er omtrent tre ganger radien til gullkjernen. Slike spredningsforsøk (Rutherford) viste at atomet har en liten, tung kjerne.