Vinkelfart og vinkelakselerasjon
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Når et legeme roterer, beskriver vi bevegelsen med vinkelen \(\theta\) (i radianer) det har rotert:
\[ \omega(t) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \theta'(t), \qquad \alpha(t) = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \theta''(t) \]
Én runde er \(2\pi\) radianer, så antall omdreininger er \(n = \theta/(2\pi)\). Og \(1\ \text{rpm}\) (omdreining per minutt) er \(2\pi/60\ \mathrm{rad/s}\).
Konstant vinkelakselerasjon
Likningene er akkurat de samme som for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon, med \(s \to \theta\), \(v \to \omega\) og \(a \to \alpha\):
\[ \begin{aligned} \omega &= \omega_0 + \alpha t \\ \theta - \theta_0 &= \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2 \\ 2\alpha(\theta - \theta_0) &= \omega^2 - \omega_0^2 \\ \theta - \theta_0 &= \tfrac12(\omega_0 + \omega)\,t \end{aligned} \]
Fra rotasjon til fart
Et punkt i avstand \(r\) fra aksen går en bue \(s = r\theta\). Deriverer vi:
\[ v = r\omega, \qquad a_\parallel = r\alpha, \qquad a_\perp = r\omega^2 = \frac{v^2}{r} \]
På vektorform er \(\vec v = \vec\omega\times\vec r\). Vinkelfarten er en vektor langs rotasjonsaksen, med retning gitt av høyrehåndsregelen: krum fingrene i rotasjonsretningen, og tommelen peker langs \(\vec\omega\).
Ren rulling: Et hjul som ruller uten å gli, har massesenterets fart \(v_\text{cm} = R\omega\) og akselerasjon \(a_\text{cm} = R\alpha\), der \(R\) er hjulets radius. Punktet som berører bakken står et øyeblikk stille.
Eksempel: Dekk på bil. Et dekk med \(R = 0{,}40\ \mathrm{m}\) starter fra ro og har vinkelakselerasjonen \(\alpha = -1{,}0\ \mathrm{rad/s^2}\) (bilen kjører mot høyre, så hjulet roterer med klokka, som er negativ retning). Ingen spinning.
a) Hvor lang tid tar det å nå \(\omega = -2\pi\ \mathrm{rad/s}\)? \(\ \omega = \omega_0 + \alpha t\) med \(\omega_0 = 0\) gir \(t = \omega/\alpha = 2\pi\ \mathrm{s} \approx 6{,}3\ \mathrm{s}\).
b) Bilens fart da: \(v = R\omega = 0{,}40\cdot2\pi\ \mathrm{m/s} \approx 2{,}5\ \mathrm{m/s}\).
c) Bilens akselerasjon: \(a = R\alpha = 0{,}40\ \mathrm{m/s^2}\).
d) Farten etter at hjulet har rotert én runde fra ro: \(2\alpha\Delta\theta = \omega^2\) med \(\Delta\theta = -2\pi\) gir \(\omega = \sqrt{4\pi}\ \mathrm{rad/s}\) og \(v = R\omega = 0{,}40\sqrt{4\pi}\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s}\).
Eksempel: Vaskemaskin. En trommel med radius \(R = 20\ \mathrm{cm}\) går med \(1400\) omdreininger per minutt. En sokk følger veggen rundt.
a) Vinkelfart og banefart: \(\omega = \dfrac{1400\cdot2\pi}{60\ \mathrm{s}} \approx 146{,}6\ \mathrm{rad/s}\) og \(v = R\omega \approx 29\ \mathrm{m/s}\), over \(100\ \mathrm{km/h}\)!
b) Vinkelakselerasjonen: \(\omega\) er konstant, så \(\alpha = 0\).
c) Sentripetalakselerasjonen: \(a_\perp = R\omega^2 = 0{,}20\cdot146{,}6^2\ \mathrm{m/s^2} \approx 4{,}3\ \mathrm{km/s^2}\).
d) Strekning på 2 minutter: \(s = vt = 29\ \mathrm{m/s}\cdot120\ \mathrm{s} \approx 3{,}5\ \mathrm{km}\).
Svinghjulet på en spinningsykkel øker jevnt fra ro til \(90\ \text{rpm}\) på \(5{,}0\ \mathrm{s}\).
Finn vinkelakselerasjonen.
Hjulet øker jevnt fra 0 til \(90\ \text{rpm}\) på \(5{,}0\ \mathrm{s}\), holder farten i \(60\ \mathrm{s}\), og bremses jevnt til ro på \(5{,}0\ \mathrm{s}\). Hvor mange omdreininger har det gjort?
a) \(\alpha = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = \dfrac{90\cdot2\pi/60\ \mathrm{rad/s}}{5{,}0\ \mathrm{s}} \approx \underline{\underline{1{,}9\ \mathrm{rad/s^2}}}\)
b) Fase 1 og 3 er like: \(\theta_1 = \dfrac{\omega^2}{2\alpha} = \dfrac{(3\pi)^2}{2\cdot1{,}88}\ \mathrm{rad} \approx 23{,}6\ \mathrm{rad}\). Fase 2: \(\theta_2 = \omega\Delta t = 3\pi\cdot60\ \mathrm{rad} = 180\pi\ \mathrm{rad}\). \[ n = \frac{2\cdot23{,}6 + 180\pi}{2\pi} \approx \underline{\underline{98\ \text{omdreininger}}} \]
En sykkel har hjul med diameter 29 tommer (\(1\ \text{tomme} = 2{,}54\ \mathrm{cm}\)). Hvor mange omdreininger per minutt gjør hjulet når sykkelen triller i \(30\ \mathrm{km/h}\) uten å gli?
Ren rulling: \(v = r\omega\) med \(r = d/2\): \[ \omega = \frac{2v}{d} = \frac{2\cdot30/3{,}6\ \mathrm{m/s}}{29\cdot0{,}0254\ \mathrm{m}} \approx 22{,}6\ \mathrm{rad/s} \] \[ 22{,}6\ \mathrm{rad/s}\cdot\frac{60\ \mathrm{s/min}}{2\pi\ \mathrm{rad}} \approx \underline{\underline{2{,}2\cdot10^2\ \text{omdreininger/min}}} \]
Vinkelfarten til en skrumaskin er \(\omega(t) = (10\ \mathrm{rad/s})\left(1 - e^{-(t/0{,}50\,\mathrm{s})^2}\right)\).
Skisser \(\alpha(t)\).
Hvor mange omdreininger roterer den fra \(t = 0\) til \(t = 10\ \mathrm{s}\)?
En annen motor har \(\alpha(t) = bt\) med \(b = 1{,}0\ \mathrm{rad/s^3}\). Finn \(\omega(t)\) og \(\theta(t)\) når begge er null ved \(t = 0\).
a) \(\alpha\) er stigningstallet til \(\omega(t)\). Grafen for \(\omega\) stiger og flater ut mot \(10\ \mathrm{rad/s}\), så \(\alpha\) starter med en topp og går mot null.
b) \(\theta = \int_0^{10}\omega(t)\,\mathrm{d}t\), som vi regner numerisk:
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
def omega(t):
return 10*(1 - np.exp(-(t/0.5)**2))
vinkel, usikkerhet = quad(omega, 0, 10)
print("antall omdreininger:", round(vinkel/(2*np.pi), 1))Svaret er \(n \approx \underline{\underline{15}}\).
c) \(\omega(t) = \int bt\,\mathrm{d}t = \frac12 bt^2\) og \(\theta(t) = \int\frac12 bt^2\,\mathrm{d}t = \frac16 bt^3\) (integrasjonskonstantene er null fordi alt starter i null).