Ladning i homogent felt
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Homogent felt
Mellom to store, parallelle plater med motsatt ladning er det elektriske feltet tilnærmet homogent: like sterkt og like rettet overalt mellom platene. Da er kraften \(\vec F = q\vec E\) på en ladning konstant, og akselerasjonen \[ \vec a = \frac{q\vec E}{m} \] er også konstant. Det betyr at vi kan bruke bevegelseslikningene for konstant akselerasjon fra kinematikken, akkurat som for skrått kast.
Bevegelse i kryssede felt
Se på en partikkel som starter i ro, \(\vec v_0 = \vec 0\), i et homogent elektrisk felt som peker vannrett. Samtidig virker tyngdekraften loddrett. Partikkelen akselereres altså av feltet i \(x\)-retning og faller i \(y\)-retning. Si at vi ønsker å finne farten \(\vec v\) når den har tilbakelagt lengden \(L\) vannrett.
- Del bevegelsen i to retninger, \(x\) og \(y\).
- Finn tida \(t\) partikkelen bruker på lengden \(L\).
- Hvor stor fartsøkning får den i \(x\)-retning på den tida?
- Hvor stor fartsøkning får den i \(y\)-retning på den tida?
- Finn vinkelen \(\theta\) fra fartskomponentene.
Eksempel: Støvkorn mellom to plater. Et ladet støvkorn med masse \(m = 1{,}0\cdot10^{-12}\ \mathrm{kg}\) og ladning \(q = +2{,}0\cdot10^{-15}\ \mathrm{C}\) slippes fra ro mellom to loddrette plater. Feltet er \(E = 5{,}0\cdot10^{3}\ \mathrm{N/C}\) og peker vannrett. Finn farten (størrelse og retning) når kornet har beveget seg \(L = 0{,}20\ \mathrm{m}\) vannrett.
1. Del opp. I \(x\)-retning virker bare den elektriske kraften, og i \(y\)-retning bare tyngdekraften: \[ a_x = \frac{qE}{m} = \frac{2{,}0\cdot10^{-15}\cdot5{,}0\cdot10^{3}}{1{,}0\cdot10^{-12}}\ \mathrm{m/s^2} = 10\ \mathrm{m/s^2}, \qquad a_y = -\mathrm{g} = -9{,}81\ \mathrm{m/s^2} \]
2. Tida. Kornet starter i ro, så \(L = \tfrac12 a_x t^2\): \[ t = \sqrt{\frac{2L}{a_x}} = \sqrt{\frac{2\cdot0{,}20}{10}}\ \mathrm{s} = 0{,}20\ \mathrm{s} \]
3. Fart i \(x\)-retning: \(v_x = a_x t = 10\cdot0{,}20\ \mathrm{m/s} = 2{,}0\ \mathrm{m/s}\)
4. Fart i \(y\)-retning: \(v_y = a_y t = -9{,}81\cdot0{,}20\ \mathrm{m/s} \approx -1{,}96\ \mathrm{m/s}\)
5. Fart og vinkel: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx \underline{\underline{2{,}8\ \mathrm{m/s}}}, \qquad \tan\theta = \frac{|v_y|}{v_x} = \frac{1{,}96}{2{,}0} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx \underline{\underline{44^\circ}}\ \text{under vannrett} \]
Sammenlign \(qE/m\) med \(\mathrm{g}\). For støvkornet over er de like store, så begge må tas med. For et elektron i det samme feltet er \(\mathrm{e}E/m_\mathrm{e} \approx 9\cdot10^{14}\ \mathrm{m/s^2}\), omtrent \(10^{14}\) ganger større enn \(\mathrm{g}\). For elektroner, protoner og ioner kan vi nesten alltid se bort fra tyngdekraften.
Et elektron kommer vannrett inn mellom to vannrette plater med farten \(v_0 = 2{,}0\cdot10^{7}\ \mathrm{m/s}\). Feltet mellom platene er \(E = 1{,}0\cdot10^{4}\ \mathrm{N/C}\) og peker loddrett nedover. Platene er \(L = 5{,}0\ \mathrm{cm}\) lange.
a) Hvor langt er elektronet avbøyd loddrett når det forlater platene?
b) Med hvilken vinkel kommer det ut?
Elektronet er negativt, så kraften peker oppover, mot feltet. Tyngdekraften kan vi se bort fra. \[ a_y = \frac{\mathrm{e}E}{m_\mathrm{e}} = \frac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{4}}{9{,}11\cdot10^{-31}}\ \mathrm{m/s^2} \approx 1{,}76\cdot10^{15}\ \mathrm{m/s^2} \] I \(x\)-retning er farten konstant, så tida mellom platene er \[ t = \frac{L}{v_0} = \frac{0{,}050}{2{,}0\cdot10^{7}}\ \mathrm{s} = 2{,}5\cdot10^{-9}\ \mathrm{s} \] a) \(y = \tfrac12 a_y t^2 = \tfrac12\cdot1{,}76\cdot10^{15}\cdot(2{,}5\cdot10^{-9})^2\ \mathrm{m} \approx \underline{\underline{5{,}5\ \mathrm{mm}}}\) oppover.
b) \(v_y = a_y t \approx 4{,}4\cdot10^{6}\ \mathrm{m/s}\), så \[ \tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{4{,}4\cdot10^{6}}{2{,}0\cdot10^{7}} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx \underline{\underline{12^\circ}} \] over vannrett. Slik ble elektronstrålen styrt i gamle TV-skjermer og oscilloskop.
En oljedråpe med masse \(m = 3{,}3\cdot10^{-15}\ \mathrm{kg}\) svever i ro mellom to vannrette plater der feltet er \(E = 1{,}0\cdot10^{5}\ \mathrm{N/C}\) og peker nedover. Hvor stor er ladningen på dråpen, og hvor mange elementærladninger tilsvarer det?
Dråpen svever, så den elektriske kraften balanserer tyngden: \(|q|E = m\mathrm{g}\). \[ |q| = \frac{m\mathrm{g}}{E} = \frac{3{,}3\cdot10^{-15}\cdot9{,}81}{1{,}0\cdot10^{5}}\ \mathrm{C} \approx 3{,}2\cdot10^{-19}\ \mathrm{C} \] Kraften må peke oppover mens feltet peker nedover, så ladningen er negativ: \(q \approx \underline{\underline{-3{,}2\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}}}\). Det er \(n = 3{,}2/1{,}6 = \underline{\underline{2}}\) elementærladninger, altså to ekstra elektroner.