Felt fra flere ladninger
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Vektorkomponenter og enhetsvektorer
Når ladningene ikke ligger på én linje, må vi dekomponere feltene. Se på to ladninger \(q_1\) og \(q_2\) med avstand \(d\) mellom seg, og et punkt \(P\) i høyden \(z\) rett over midtpunktet:
Begge ladningene ligger i avstanden \(r\) fra \(P\), og linjene fra ladningene til \(P\) danner vinkelen \(\theta\) med den loddrette aksen. Enhetsvektorene som peker fra ladningene mot \(P\), er
\[ \hat r_1 = [\sin\theta,\ \cos\theta], \qquad \hat r_2 = [-\sin\theta,\ \cos\theta] \]
De har lengde 1, fordi \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\). Feltene fra hver ladning blir da \[ \vec E_1 = k\frac{q_1}{r^2}\,\hat r_1 = k\frac{q_1}{r^2}\,[\sin\theta,\ \cos\theta], \qquad \vec E_2 = k\frac{q_2}{r^2}\,\hat r_2 = k\frac{q_2}{r^2}\,[-\sin\theta,\ \cos\theta] \] og det totale feltet i \(P\) er
\[ \vec E_\mathrm{tot} = \vec E_1 + \vec E_2 = \frac{k}{r^2}\Big[(q_1 - q_2)\sin\theta,\ (q_1 + q_2)\cos\theta\Big] \]
Denne ene formelen dekker alle kombinasjoner av \(q_1\) og \(q_2\). Det er fordelen med å gjøre jobben med enhetsvektorer én gang, generelt.
For aksene gjelder \(\hat e_x\cdot\hat e_x = \hat e_z\cdot\hat e_z = 1\) og \(\hat e_x\cdot\hat e_z = 0\). Vi kan også lage koordinatløse enhetsvektorer; da er skalarproduktet \(\hat r_i\cdot\hat r_j = 1\) når \(i = j\) og \(\cos\theta_{ij}\) ellers, der \(\theta_{ij}\) er vinkelen mellom dem. Enhetsvektorer har alltid lengde 1 og kan bygges slik: \(\hat e_x = \vec x/|\vec x|\).
Eksempel: Felt over to ladninger
Eksempel: Feltet over to ladninger. (Basert på eksempel 5.4 i OpenStax University Physics, bind 2, CC BY 4.0.)
a) Finn det elektriske feltet i avstanden \(z\) over midtpunktet mellom to like ladninger \(+q\) med avstand \(d\) mellom seg. Sjekk at svaret gir mening når \(z \gg d\).
b) Som a), men nå er den høyre ladningen \(-q\).
Vi bruker det generelle uttrykket over, med \[ r = \sqrt{\left(\tfrac d2\right)^2 + z^2}, \qquad \sin\theta = \frac{d/2}{r}, \qquad \cos\theta = \frac{z}{r} \]
a) \(q_1 = q_2 = q\). Da blir \(x\)-komponenten null, og \[ \vec E_\mathrm{tot} = \frac{k}{r^2}\,[0,\ 2q\cos\theta] = \underline{\underline{\frac{2kq\,z}{\left(z^2 + (d/2)^2\right)^{3/2}}\,[0,\ 1]}} \] Feltet peker rett opp. Når \(z \gg d\), kan vi se bort fra \(d/2\) i nevneren: \(E \approx 2kq/z^2\). Langt unna ser de to ladningene ut som én ladning \(2q\). ✓
b) \(q_1 = q\) og \(q_2 = -q\). Nå er det \(y\)-komponenten som blir null: \[ \vec E_\mathrm{tot}(r, \theta) = \frac{kq}{r^2}\,[2\sin\theta,\ 0] \] Vi kan skrive om til \(z\) og \(d\) som variabler ved å sette inn \(r\) og \(\sin\theta\): \[ \vec E_\mathrm{tot}(d, z) = \underline{\underline{\frac{d\,k\,q}{\left(z^2 + (d/2)^2\right)^{3/2}}\,[1,\ 0]}} \] Feltet peker vannrett, fra den positive mot den negative ladningen. Et slikt par kalles en elektrisk dipol. Når \(z \gg d\), blir \(E \approx kqd/z^3\): feltet avtar raskere enn fra én ladning, fordi bidragene fra \(+q\) og \(-q\) nesten opphever hverandre langt unna.
To ladninger \(q = +2{,}0\ \mathrm{nC}\) ligger i to hjørner av et kvadrat med sider \(a = 0{,}10\ \mathrm{m}\): én i \((0,\ 0)\) og én i \((a,\ a)\). Finn det elektriske feltet (størrelse og retning) i hjørnet \((a,\ 0)\).
Ladningen i \((0,\ 0)\) ligger rett til venstre for punktet, i avstand \(a\). Feltet peker bort fra den, altså i \(+x\)-retning: \[ \vec E_1 = k\frac{q}{a^2}\,[1,\ 0] \] Ladningen i \((a,\ a)\) ligger rett over punktet, i avstand \(a\). Feltet peker nedover: \[ \vec E_2 = k\frac{q}{a^2}\,[0,\ -1] \] Med \(kq/a^2 = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot2{,}0\cdot10^{-9}/0{,}010\ \mathrm{N/C} = 1{,}8\cdot10^{3}\ \mathrm{N/C}\) blir \[ \vec E = 1{,}8\cdot10^{3}\,[1,\ -1]\ \mathrm{N/C}, \qquad E = \sqrt2\cdot1{,}8\cdot10^{3}\ \mathrm{N/C} \approx \underline{\underline{2{,}5\cdot10^{3}\ \mathrm{N/C}}} \] rettet \(45^\circ\) under \(+x\)-aksen.
Bruk svaret fra eksempelet over. En dipol har \(q = 1{,}0\ \mathrm{nC}\) og \(d = 2{,}0\ \mathrm{mm}\). Finn feltet i \(z = 0{,}10\ \mathrm{m}\), både med det eksakte uttrykket og med tilnærmingen \(E \approx kqd/z^3\). Hvor stor er feilen?
Eksakt: \[ E = \frac{kqd}{\left(z^2 + (d/2)^2\right)^{3/2}} = \frac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot1{,}0\cdot10^{-9}\cdot2{,}0\cdot10^{-3}}{\left(0{,}010 + 1{,}0\cdot10^{-6}\right)^{3/2}}\ \mathrm{N/C} \approx 17{,}98\ \mathrm{N/C} \] Tilnærmet: \[ E \approx \frac{kqd}{z^3} = \frac{1{,}798\cdot10^{-2}}{1{,}0\cdot10^{-3}}\ \mathrm{N/C} \approx 17{,}98\ \mathrm{N/C} \] Forskjellen er bare ca. \(0{,}015\ \%\), så tilnærmingen er svært god når \(z \gg d\). Svar: \(\underline{\underline{E \approx 18\ \mathrm{N/C}}}\).