Dreieimpuls

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Dreieimpulsen (spinnet, angulærmomentet) er rotasjonens svar på bevegelsesmengden:

\[ \vec L = \vec r\times\vec p \]

For et stivt legeme som roterer om en fast akse, ser vi på et lite masse-element \(\mathrm{d}m\) i avstand \(R\) fra aksen. Det har fart \(v = R\omega\) vinkelrett på \(\vec r\), og bare komponenten langs aksen overlever når vi summerer over hele legemet: \[ \mathrm{d}L_z = R\cdot R\omega\,\mathrm{d}m \quad\Rightarrow\quad L = \omega\int R^2\,\mathrm{d}m = I\omega \]

\[ L = I\omega, \qquad \frac{\mathrm{d}\vec L}{\mathrm{d}t} = \sum\vec\tau_\text{ytre} \]

Bevaring av dreieimpuls

Er summen av ytre kraftmomenter null, endrer ikke dreieimpulsen seg:

\[ \sum\vec\tau_\text{ytre} = \vec 0 \quad\Rightarrow\quad L_\text{etter} = L_\text{før} \quad\Rightarrow\quad I_\text{etter}\,\omega_\text{etter} = I_\text{før}\,\omega_\text{før} \]

Eksempel: Roterende hjul. Et hjul med masse \(M = 500\ \mathrm{g}\) jevnt fordelt, radius \(R = 0{,}35\ \mathrm{m}\), ruller med \(v_\text{cm} = 30\ \mathrm{km/h}\). Dreieimpulsen om massesenteret, med \(I = \frac12 MR^2\) og \(\omega = v/R \approx 23{,}8\ \mathrm{rad/s}\): \[ L = \tfrac12 MR^2\omega = \tfrac12\cdot0{,}500\cdot0{,}35^2\cdot23{,}8\ \mathrm{J\,s} \approx 0{,}73\ \mathrm{J\,s} \]

Eksempel: Skøyteløperen. En skøyteløper snurrer med armene ute. Isen gir nesten ingen kraftmoment, så \(L\) er bevart. Når hun trekker armene inn, blir \(I\) mye mindre, og \[ \omega_\text{etter} = \frac{I_\text{før}}{I_\text{etter}}\,\omega_\text{før} \] blir mye større. Hun snurrer fortere uten å «skyve» på noe.

Eksempel: Solsystemet. En stor, langsomt roterende gass- og støvsky trekker seg sammen under tyngdekraften. \(L\) er bevart, \(I\) blir mye mindre, og rotasjonen blir raskere og raskere. Til slutt flater skyen ut til en roterende skive, der planetene dannes. Derfor går alle planetene rundt sola i samme retning og nesten i samme plan.

Eksempel: Nøytronstjerne. Når en stor stjerne eksploderer som supernova, kan kjernen kollapse til en nøytronstjerne. Med \(I = CMR^2\) (samme form, samme masse) gir \(\Delta L = 0\): \[ I_\text{kjerne}\,\omega_\text{kjerne} = I_\text{NS}\,\omega_\text{NS} \] Med \(\omega = 2\pi/T\) blir perioden \[ T_\text{NS} = T_\text{kjerne}\,\frac{R_\text{NS}^2}{R_\text{kjerne}^2} \] Estimat: \(T_\text{kjerne} = 1350\ \mathrm{s}\), \(R_\text{kjerne} = 6400\ \mathrm{km}\) og \(R_\text{NS} = 20\ \mathrm{km}\) gir \[ T_\text{NS} = 1350\ \mathrm{s}\cdot\frac{(20\ \mathrm{km})^2}{(6400\ \mathrm{km})^2} \approx 0{,}013\ \mathrm{s} \] Nesten 80 runder i sekundet! Slike raskt roterende nøytronstjerner observeres som pulsarer.

Gyroskop og presesjon

En snurrebass som står på skrå, faller ikke. Tyngden gir et kraftmoment om kontaktpunktet: \[ \vec\tau = \vec r\times\vec G, \qquad \tau = rM\mathrm{g}\sin\theta \] Kraftmomentet står vinkelrett på \(\vec L\), så det endrer retningen til dreieimpulsen, ikke størrelsen. På tiden \(\mathrm{d}t\) endres \(\vec L\) med \(\mathrm{d}L = \tau\,\mathrm{d}t\), og spissen av \(\vec L\) beveger seg langs en sirkel med radius \(L\sin\theta\). Vinkelen den dreier, er \(\mathrm{d}\varphi = \mathrm{d}L/(L\sin\theta)\), så aksen roterer rundt loddlinja med presesjonsvinkelfarten

\[ \omega_p = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{rM\mathrm{g}}{L} = \frac{rM\mathrm{g}}{I\omega} \]

Jo raskere snurrebassen spinner (større \(I\omega\)), jo langsommere presesserer den.

Fun fact: Jorda er et gigantisk gyroskop. Sola og månen drar i jordas «mage» ved ekvator, og jordaksen presesserer med en periode på omtrent \(26\,000\) år.

En bil med masse \(m = 1500\ \mathrm{kg}\) og fart \(v = 30\ \mathrm{km/h}\) kjører i en rundkjøring med radius \(R = 15\ \mathrm{m}\).

  1. Hva er bilens bevegelsesmengde? b) Hva er dreieimpulsen om sentrum av rundkjøringen?

a) \(p = mv = 1500\cdot\frac{30}{3{,}6}\ \mathrm{kg\,m/s} \approx \underline{\underline{1{,}3\cdot10^4\ \mathrm{kg\,m/s}}}\)

b) Farten står vinkelrett på \(\vec R\), så \(\sin = 1\) i kryssproduktet: \[ L = Rmv = 15\cdot1500\cdot\tfrac{30}{3{,}6}\ \mathrm{kg\,m^2/s} \approx \underline{\underline{1{,}9\cdot10^5\ \mathrm{kg\,m^2/s}}} \]

Et sykkelhjul (uten dekk) består av et nav (massiv sylinder, masse \(m_1\), radius \(r\)), 8 eiker (tynne stenger, masse \(m_2\) og lengde \(L\) hver, fra kanten av navet til felgen) og en felg (tynnvegget sylinder, masse \(m_3\), radius \(r + L\)). Finn det totale treghetsmomentet om hjulets akse.

  • Nav: \(I_1 = \frac12 m_1r^2\)
  • Hver eike har massesenteret i avstand \(d = r + L/2\) fra aksen. Steiners sats: \(I_2 = \frac1{12}m_2L^2 + m_2\left(r + \frac L2\right)^2\)
  • Felg: \(I_3 = m_3(r + L)^2\) \[ I = \tfrac12 m_1r^2 + 8m_2\left[\tfrac1{12}L^2 + \left(r + \tfrac L2\right)^2\right] + m_3(r + L)^2 \]

En skøyteløper snurrer med \(1{,}0\) omdreining per sekund med armene ute (\(I = 4{,}0\ \mathrm{kg\,m^2}\)). Hun trekker armene inn til \(I = 1{,}6\ \mathrm{kg\,m^2}\). Hvor fort snurrer hun nå, og hva skjer med rotasjonsenergien?

\(L\) er bevart: \(\omega_\text{etter} = \frac{4{,}0}{1{,}6}\cdot1{,}0\ \mathrm{omdr/s} = \underline{\underline{2{,}5\ \mathrm{omdr/s}}}\).

Rotasjonsenergien er \(\frac12 I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}\). Med samme \(L\) og \(I\) redusert til \(0{,}4\) av den opprinnelige, blir energien \(2{,}5\) ganger så stor. Den ekstra energien kommer fra arbeidet musklene gjør når hun drar armene inn mot «sentrifugalkraften».