Kraftmoment, rulling og arbeid ved rotasjon

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Kraftmoment og Newtons 2. lov for rotasjon

For massesenteret gjelder fortsatt \(\sum\vec F_\text{ytre} = m\vec a_\text{cm}\). Men det som får et legeme til å rotere, er ikke kraften alene, men kraftmomentet: hvor langt fra aksen kraften virker, og i hvilken retning.

\[ \vec\tau = \vec r\times\vec F, \qquad \tau = rF\sin\alpha, \qquad \sum\vec\tau_\text{ytre} = I\vec\alpha \]

Her er \(\alpha\) i \(rF\sin\alpha\) vinkelen mellom \(\vec r\) og \(\vec F\). Bare den delen av kraften som står vinkelrett på armen, gir dreiing.

Derfor sitter håndtaket på en dør langt fra hengslene, og derfor er det lettere å løsne en mutter med en lang nøkkel.

Eksempel: Hvordan feste staven? En maskin gir et bestemt kraftmoment \(\tau\). Vi vil gi en metallstav (lengde \(L\), radius \(R\)) størst mulig vinkelakselerasjon. Skal maskinen feste staven ved enden (A), på midten (B) eller rotere den om sin egen lengdeakse (C)?

Fra \(\alpha = \tau/I\) vil vi ha minst mulig \(I\): \[ I_A = \tfrac1{12}ML^2 + M\left(\tfrac L2\right)^2 = \tfrac13 ML^2, \qquad I_B = \tfrac1{12}ML^2, \qquad I_C = \tfrac12 MR^2 \] \(I_A > I_B\) alltid. \(I_C < I_B\) når \(\frac12 MR^2 < \frac1{12}ML^2\), altså når \(L > \sqrt6\,R\). For en vanlig stav (lang og tynn) gir C størst vinkelakselerasjon.

Eksempel: Stav som faller. En stav holdes vannrett, festet i den ene enden, og slippes. Tyngden virker i massesenteret, \(L/2\) fra aksen: \[ \tau = M\mathrm{g}\frac{L}{2} = I\alpha = \tfrac13 ML^2\,\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{3\mathrm{g}}{2L} \] Enden av staven får da akselerasjonen \(a = L\alpha = \frac32\mathrm{g}\), større enn i fritt fall. Det er derfor et høyt tre som brekker ved roten, kan knekke på veien ned: toppen vil falle raskere enn resten av stammen klarer å følge med.

Rulling ned et skråplan

Et legeme med masse \(M\), radius \(R\) og treghetsmoment \(I\) ruller uten å gli ned et skråplan med helning \(\theta\). Vi trenger begge versjonene av Newtons 2. lov:

1. Langs planet: \(\sum F_x = G\sin\theta - f = Ma_\text{cm}\)
2. Rotasjon om massesenteret: bare friksjonen har arm, så \(fR = I\alpha\)
3. Ren rulling: \(a_\text{cm} = R\alpha\), slik at \(f = \dfrac{I}{R^2}a_\text{cm}\)

Setter vi 3 inn i 1: \[ M\mathrm{g}\sin\theta - \frac{I}{R^2}a_\text{cm} = Ma_\text{cm} \]

\[ a_\text{cm} = \frac{\mathrm{g}\sin\theta}{1 + c}, \qquad c = \frac{I}{MR^2} \]

Jo mer av massen som sitter ytterst (større \(c\)), jo tregere ruller legemet:

Legeme	\(c\)	\(a_\text{cm}\)
massiv kule	\(2/5\)	\(\frac57\mathrm{g}\sin\theta\)
massiv sylinder (disk)	\(1/2\)	\(\frac23\mathrm{g}\sin\theta\)
hul sylinder (ring)	\(1\)	\(\frac12\mathrm{g}\sin\theta\)

Legg merke til at massen og radien forsvinner: alle massive sylindre ruller like fort, uansett størrelse.

Eksempel: Disk mot ring. En massiv sylinder (A) og en hul sylinder (B) med samme masse og radius ruller fra ro ned samme skråplan, høyde \(h\) og lengde \(s\).

a) Hvem kommer først? Fra \(s = \frac12 at^2\) er \(t = \sqrt{2s/a}\). Disken har størst akselerasjon, så disken kommer først.

b) Mekanisk energi i bunnen: begge har \(E = M\mathrm{g}h\), siden energien er bevart.

c) Arbeidet fra tyngden: \(W = \int\vec G\cdot\mathrm{d}\vec s = M\mathrm{g}\sin\theta\cdot s = M\mathrm{g}h\) for begge.

d) Friksjonen er \(f = \frac{I}{R^2}a_\text{cm}\): for disken \(\frac13 M\mathrm{g}\sin\theta\), for ringen \(\frac12 M\mathrm{g}\sin\theta\). Den flytter energi fra translasjon til rotasjon: \(\frac13 M\mathrm{g}h\) for disken og \(\frac12 M\mathrm{g}h\) for ringen.

e) Farten i bunnen fra \(v^2 = 2a_\text{cm}s\): disken \(v = \sqrt{\frac43\mathrm{g}h}\), ringen \(v = \sqrt{\mathrm{g}h}\). Translasjonsenergien blir \(\frac23 E_p\) for disken og \(\frac12 E_p\) for ringen.

f) Rotasjonsenergien med \(\omega = v/R\): \(\frac13 E_p\) for disken og \(\frac12 E_p\) for ringen.

g) Summen er \(E_p\) i begge tilfeller: energien er bevart. ✓ Ren rulling gir ikke friksjonstap, fordi kontaktpunktet ikke glir.

Arbeid og effekt ved rotasjon

En kraft som får noe til å rotere, virker langs en bue \(\mathrm{d}s = r\,\mathrm{d}\theta\). Bare kraftdelen vinkelrett på armen gjør arbeid, og \(F_\perp r = \tau\):

\[ W = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau\,\mathrm{d}\theta, \qquad W = \Delta E_\text{rot} = \tfrac12 I\omega_2^2 - \tfrac12 I\omega_1^2, \qquad P = \tau\omega \]

Eksempel: Treningssykkel. Du må bruke et kraftmoment \(\tau = 50\ \mathrm{N\,m}\) for å holde \(30\ \mathrm{km/h}\). Hjulet har radius \(35\ \mathrm{cm}\).

a) Effekten: \(\omega = v/r = (30/3{,}6)/0{,}35\ \mathrm{rad/s} \approx 23{,}8\ \mathrm{rad/s}\), så \(P = \tau\omega \approx 1{,}2\ \mathrm{kW}\).

b) Hvor lenge må du sykle for å lade en Tesla med \(75\ \mathrm{kWh}\)? \(\ 75\ \mathrm{kWh}/1{,}2\ \mathrm{kW} \approx 63\) timer.

c) Arbeidet per pedalomdreining: \(W = \int_0^{2\pi}50\,\mathrm{d}\theta = 2\pi\cdot50\ \mathrm{J} \approx 0{,}31\ \mathrm{kJ}\).

d) Pedalen er \(15\ \mathrm{cm}\) fra navet. Kraften du må tråkke med: \(F = \tau/r = 50/0{,}15\ \mathrm{N} \approx 0{,}33\ \mathrm{kN}\), som tilsvarer tyngden av \(34\ \mathrm{kg}\). Realistisk?

En kraft \(F = 400\ \mathrm{N}\) virker i en arm \(r = 0{,}5\ \mathrm{m}\), med vinkelen \(\theta = 30^\circ\) mellom arm og kraft. Hvor stort er kraftmomentet om punktet?

\(\tau = rF\sin\theta = 0{,}5\cdot400\cdot\sin30^\circ\ \mathrm{N\,m} = 100\ \mathrm{N\,m}\). Med ett signifikant siffer i armen: \(\underline{\underline{0{,}1\ \mathrm{kN\,m}}}\).

En vinsj med radius \(R = 50\ \mathrm{cm}\) trekker en buss opp fra grøfta med konstant kraft \(F = 30\ \mathrm{kN}\). Den snurrer 5 omdreininger med vinkelfart \(\omega = 1{,}1\ \mathrm{s^{-1}}\).

1. Hvor stort arbeid gjør vinsjen? b) Hva er effekten?

a) \(\tau = FR\) er konstant, og \(\Delta\theta = 5\cdot2\pi = 10\pi\): \[ W = \tau\,\Delta\theta = FR\cdot10\pi = 30\cdot10^3\cdot0{,}50\cdot10\pi\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{0{,}47\ \mathrm{MJ}}} \] Det er det samme som kraft ganger strekning, \(F\cdot2\pi R\cdot5\).

b) \(P = \tau\omega = FR\omega = 30\cdot10^3\cdot0{,}50\cdot1{,}1\ \mathrm{W} \approx \underline{\underline{16\ \mathrm{kW}}}\)

En jo-jo er en massiv sylinder (masse \(M\), radius \(R\)) med en tråd tvunnet rundt. Tråden holdes i ro, og sylinderen faller mens tråden ruller av uten å gli.

1. Tegn kreftene. b) Finn akselerasjonen. c) Finn snordraget.

a) Tyngden \(\vec G\) i massesenteret, og snordraget \(\vec S\) opp, i avstand \(R\) fra sentrum.

b) Massesenteret (positiv nedover): \(M\mathrm{g} - S = Ma\). Rotasjon: \(SR = I\alpha = \frac12 MR^2\cdot\frac aR\), så \(S = \frac12 Ma\). Innsatt: \[ M\mathrm{g} - \tfrac12 Ma = Ma \quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{a = \tfrac23\mathrm{g}}} \]

c) \(S = \frac12 Ma = \underline{\underline{\tfrac13 M\mathrm{g}}}\)

En snøball ruller uten å gli ned en bakke med konstant helning og blir større underveis: \(R = R(t)\). Snøballen er en homogen kule. Hva skjer med akselerasjonen?

A. Den avtar. B. Den øker. C. Den er konstant. D. Det avhenger av \(R(t)\). E. Den øker lineært.

For en homogen kule er \(c = I/(MR^2) = \frac25\) uansett størrelse, så \[ a = \frac{\mathrm{g}\sin\theta}{1 + 2/5} = \tfrac57\mathrm{g}\sin\theta \] som ikke avhenger av \(R\) eller \(M\). Akselerasjonen er konstant (C). (Vi ser bort fra at snøballen må «plukke opp» snø i ro, som i virkeligheten bremser den litt.)

En massiv kule (masse \(m\), radius \(r \ll R\)) ruller uten å gli inn i en loop med radius \(R\). Den starter fra ro i høyden \(h = 3R\) over bunnen.

1. Hva er farten i bunnen av loopen?

2. Hva er normalkraften i bunnen, uttrykt ved tyngden \(G\)?

3. Hva er den minste starthøyden for at kula skal komme rundt?

a) Energibevaring med både translasjon og rotasjon, og \(v = r\omega\): \[ m\mathrm{g}h = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\left(\frac vr\right)^2 = \tfrac12 mv^2\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right) = \tfrac12 mv^2\cdot\tfrac75 \] \[ v^2 = \frac{10\mathrm{g}h}{7} = \frac{30}{7}\mathrm{g}R \quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{v = \sqrt{\tfrac{30}{7}\mathrm{g}R}}} \]

b) I bunnen: \(N - G = mv^2/R = \frac{30}{7}m\mathrm{g}\), så \(\underline{\underline{N = \tfrac{37}{7}G}} \approx 5{,}3G\).

c) På toppen må \(N \ge 0\). På grensen er \(m\mathrm{g} = mv_3^2/R\), så \(v_3^2 = \mathrm{g}R\). Energien fra start til toppen (høyden \(\Delta h\) over toppen): \[ m\mathrm{g}\Delta h = \tfrac12 mv_3^2\cdot\tfrac75 = \tfrac{7}{10}m\mathrm{g}R \quad\Rightarrow\quad \Delta h = \tfrac{7}{10}R \] Toppen er \(2R\) over bunnen, så \(\underline{\underline{h_\text{min} = 2{,}7R}}\). (For en gli-vogn uten rotasjon var svaret \(2{,}5R\): rotasjonen krever litt ekstra energi.)