Treghetsmoment, rotasjonsenergi og massesenter

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Rotasjonsenergi

Mekanisk energi kan også ligge i rotasjon. Del et roterende legeme i små masse-elementer \(\mathrm{d}m\). Et element i avstand \(r\) fra aksen har fart \(v = r\omega\) og kinetisk energi \[ \mathrm{d}E_K = \tfrac12 v^2\,\mathrm{d}m = \tfrac12(r\omega)^2\,\mathrm{d}m \] Alle elementene har samme \(\omega\), så \[ E_K = \int\mathrm{d}E_K = \tfrac12\omega^2\int r^2\,\mathrm{d}m \] Integralet definerer vi som treghetsmomentet:

\[ I = \int r^2\,\mathrm{d}m \quad\left(\text{diskret: } I = \sum_i r_i^2m_i\right), \qquad (E_K)_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2 \]

Treghetsmomentet er rotasjonstreghet: det sier hvor vanskelig det er å endre rotasjonen, slik masse sier hvor vanskelig det er å endre farten. Det avhenger både av massen og av hvordan massen er fordelt: masse langt fra aksen teller mye (\(r^2\)).

Vanlige treghetsmomenter

Legeme Akse \(I\)
tynn ring gjennom sentrum \(MR^2\)
tykk ring (sylinderskall) gjennom sentrum \(\frac12 M(R_1^2 + R_2^2)\)
massiv sylinder eller skive gjennom sentrum \(\frac12 MR^2\)
tynn stav, lengde \(L\) gjennom midten \(\frac1{12}ML^2\)
tynn stav, lengde \(L\) gjennom enden \(\frac13 ML^2\)
massiv kule gjennom sentrum \(\frac25 MR^2\)
tynt kuleskall gjennom sentrum \(\frac23 MR^2\)
rektangulær plate \(a\times b\) normalt på, gjennom sentrum \(\frac1{12}M(a^2 + b^2)\)

Eksempel: Treghetsmomentet til en skive. En skive med radius \(R\) har flatetetthet \(\sigma = \mathrm{d}M/\mathrm{d}A\). Del den i tynne ringer med radius \(r\) og tykkelse \(\mathrm{d}r\): \(\mathrm{d}M = \sigma\cdot2\pi r\,\mathrm{d}r\). \[ I = \int_0^R r^2\,\sigma\,2\pi r\,\mathrm{d}r = 2\pi\sigma\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \tfrac12\,\underbrace{\pi R^2\sigma}_{M}\,R^2 = \tfrac12 MR^2 \] Skiva har halvparten av treghetsmomentet til en ring med samme masse og radius, fordi mye av massen er nær aksen.

Steiners sats

Treghetsmomentet om en akse \(L\) som er parallell med en akse gjennom massesenteret, i avstand \(d\):

\[ I_L = I_\text{cm} + Md^2 \]

Eksempel: En plate («slabb»). En plate med sider \(a\) og \(b\) og konstant tetthet \(\sigma\) roterer om en akse normalt på platen gjennom sentrum. Med \(\mathrm{d}m = \sigma\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) og \(r^2 = x^2 + y^2\): \[ I_\text{cm} = \sigma\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-a/2}^{a/2}(x^2 + y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{\sigma}{12}(a^3b + ab^3) = \tfrac1{12}M(a^2 + b^2) \] Om et hjørne er avstanden til sentrum \(d^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2\), og Steiners sats gir \[ I_\text{hjørne} = \tfrac1{12}M(a^2 + b^2) + \tfrac14 M(a^2 + b^2) = \tfrac13 M(a^2 + b^2) \]

Eksempel: Energi i sykkeldekket. En sykkel holder \(40\ \mathrm{km/h}\). Dekket veier \(800\ \mathrm{g}\) med all massen mellom \(R_1 = 30\ \mathrm{cm}\) og \(R_2 = 35\ \mathrm{cm}\).

a) \(I_\text{cm} = \frac12 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac12\cdot0{,}800\,(0{,}30^2 + 0{,}35^2)\ \mathrm{kg\,m^2} \approx 0{,}085\ \mathrm{kg\,m^2}\). Ren rulling gir \(\omega = v/R_2 = 11{,}1/0{,}35\ \mathrm{s^{-1}} \approx 31{,}7\ \mathrm{s^{-1}}\), og \[ (E_K)_\text{rot} = \tfrac12\cdot0{,}085\cdot31{,}7^2\ \mathrm{J} \approx 43\ \mathrm{J} \]

b) Om en akse \(d = 0{,}50\ \mathrm{m}\) fra sentrum: \(I_L = 0{,}085 + 0{,}800\cdot0{,}50^2 \approx 0{,}29\ \mathrm{kg\,m^2}\). Større enn \(I_\text{cm}\), som det skal være.

Massesenter

Tenk deg en vippe med massene \(m_1, m_2, \ldots\) i posisjonene \(x_1, x_2, \ldots\), i balanse på et punkt \(x_\text{cm}\). Krafta i balansepunktet må bære alt: \(F = \mathrm{g}M\) med \(M = \sum m_i\). At vippa ikke tipper, gir \(F\,x_\text{cm} = \mathrm{g}\sum m_ix_i\), altså

\[ x_\text{cm} = \frac{\sum m_ix_i}{M} \;\xrightarrow{\text{kontinuerlig}}\; x_\text{cm} = \frac{\int x\,\mathrm{d}m}{\int\mathrm{d}m}, \qquad y_\text{cm} = \frac{\int y\,\mathrm{d}m}{\int\mathrm{d}m}, \qquad z_\text{cm} = \frac{\int z\,\mathrm{d}m}{\int\mathrm{d}m} \]

Eksempel: Massesenteret til en trekant. En likebeint trekant har grunnlinjen \(2H\) langs \(y\)-aksen (ved \(x = 0\)) og spissen i \(x = L\). Flatetettheten er \(\lambda\). En smal stripe i avstand \(x\) har høyde \(2y(x) = 2(H - \frac{H}{L}x)\), så \[ \mathrm{d}m = 2\lambda\left(H - \tfrac{H}{L}x\right)\mathrm{d}x \] \[ \int_0^L x\,\mathrm{d}m = 2\lambda H\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3L}\right]_0^L = \frac{\lambda HL^2}{3}, \qquad M = \int_0^L\mathrm{d}m = \lambda HL \] \[ x_\text{cm} = \frac{\lambda HL^2/3}{\lambda HL} = \frac{L}{3}, \qquad y_\text{cm} = 0 \ \text{(symmetri)} \] Massesenteret ligger en tredjedel av veien fra grunnlinjen mot spissen.

Potensiell energi for et utstrakt legeme

Hvert masse-element har potensiell energi \(\mathrm{d}U = \mathrm{g}y\,\mathrm{d}m\). Totalt: \[ U = \int\mathrm{g}y\,\mathrm{d}m = \mathrm{g}\int y\,\mathrm{d}m = \mathrm{g}My_\text{cm} \]

Vi kan regne ut potensiell energi som om all massen var samlet i massesenteret: \(U = M\mathrm{g}h_\text{cm}\).

Hva tilsvarer disse størrelsene ved ren rotasjon? a) masse, b) fart, c) akselerasjon, d) bevegelsesmengde, e) kraft, f) kinetisk energi.

  1. treghetsmoment \(I = \int r^2\,\mathrm{d}m\); b) vinkelfart \(\omega = \mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t\); c) vinkelakselerasjon \(\alpha = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}t\); d) dreieimpuls \(\vec L = \vec r\times\vec p = I\vec\omega\); e) kraftmoment \(\vec\tau = \vec r\times\vec F\), med \(\sum\vec\tau = I\vec\alpha\); f) rotasjonsenergi \(\frac12 I\omega^2\).

All massen i et sykkelhjul (\(700\ \mathrm{g}\)) ligger jevnt mellom \(R_I = 33\ \mathrm{cm}\) og \(R_Y = 37\ \mathrm{cm}\). Sykkelen kjører i \(40\ \mathrm{km/h}\) med ren rulling.

  1. Finn treghetsmomentet. b) Finn rotasjonsenergien. c) Finn translasjonsenergien.

a) \(I = \frac12 m(R_I^2 + R_Y^2) = \frac12\cdot0{,}7\,(0{,}33^2 + 0{,}37^2)\ \mathrm{kg\,m^2} \approx \underline{\underline{0{,}086\ \mathrm{kg\,m^2}}}\)

b) \(\omega = v/R_Y = (40/3{,}6)/0{,}37\ \mathrm{rad/s} \approx 30\ \mathrm{rad/s}\), så \(E_\text{rot} = \frac12 I\omega^2 \approx \underline{\underline{39\ \mathrm{J}}}\).

c) \(E_\text{trans} = \frac12 mv^2 = \frac12\cdot0{,}7\cdot(40/3{,}6)^2\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{43\ \mathrm{J}}}\). For et hjul med nesten all massen ytterst er rotasjonsenergien nesten like stor som translasjonsenergien.

En enkel modell av et menneske med masse \(m\) som står med armene inntil kroppen (akse loddrett gjennom midten):

  1. hode (5 %): kule med radius \(r\),
  2. overkropp (55 %): sylinder med radius \(2r\),
  3. armer (5 % hver): tynne stenger i avstand \(2r\) fra aksen,
  4. bein (15 % hver): sylindre med radius \(2r/3\), med senterlinje i avstand \(r\) fra aksen.

  1. Hvorfor avhenger ikke treghetsmomentet av lengden på armer og bein?

  2. Finn treghetsmomentet uttrykt ved \(m\) og \(r\).

  3. Hva blir det for en person på \(70\ \mathrm{kg}\) med hodeomkrets \(60\ \mathrm{cm}\)?

a) Aksen går langs armene og beina. Treghetsmomentet avhenger bare av avstanden fra aksen, ikke av hvor langt massen strekker seg langs den.

b) Vi summerer delene (Steiners sats for beina): \[ \begin{aligned} I_1 &= \tfrac25(0{,}05m)r^2 = 0{,}02\,mr^2 \\ I_2 &= \tfrac12(0{,}55m)(2r)^2 = 1{,}10\,mr^2 \\ I_3 &= (2\cdot0{,}05m)(2r)^2 = 0{,}40\,mr^2 \\ I_4 &= 2\cdot0{,}15m\left[\tfrac12\left(\tfrac{2r}{3}\right)^2 + r^2\right] = 0{,}37\,mr^2 \end{aligned} \] \[ I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \approx \underline{\underline{1{,}9\,mr^2}} \]

c) \(r = 0{,}60\ \mathrm{m}/(2\pi) \approx 0{,}095\ \mathrm{m}\), så \(I \approx 1{,}9\cdot70\cdot0{,}095^2\ \mathrm{kg\,m^2} \approx \underline{\underline{1{,}2\ \mathrm{kg\,m^2}}}\).

En likebeint trekant med grunnlinje \(2H = 20\ \mathrm{cm}\) og lengde \(L = 30\ \mathrm{cm}\) har flatetetthet \(\sigma = 1{,}0\ \mathrm{g/cm^2}\). Massesenteret er \(h_\text{cm} = 4{,}0\ \mathrm{m}\) over bakken.

  1. Finn den potensielle energien.

  2. Trekanten slippes og får vinkelfarten \(\omega = 2{,}0\ \mathrm{rad/s}\) uten friksjon. Treghetsmomentet om massesenteret er \(I = \frac{m}{36}(L^2 + 4H^2)\). Hvor stor er farten til massesenteret etter at det har falt \(2{,}0\ \mathrm{m}\)?

a) Arealet er \(A = \frac12\cdot20\cdot30\ \mathrm{cm^2} = 300\ \mathrm{cm^2}\), så \(m = \sigma A = 300\ \mathrm{g} = 0{,}30\ \mathrm{kg}\). \[ E_p = m\mathrm{g}h_\text{cm} = 0{,}30\cdot9{,}81\cdot4{,}0\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{12\ \mathrm{J}}} \]

b) Energibevaring: høydeenergien blir til både translasjons- og rotasjonsenergi: \[ m\mathrm{g}\Delta h = \tfrac12 mv_\text{cm}^2 + \tfrac12\cdot\frac{m}{36}(L^2 + 4H^2)\,\omega^2 \] \[ v_\text{cm} = \sqrt{2\mathrm{g}\Delta h - \tfrac1{36}(L^2 + 4H^2)\,\omega^2} = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot2{,}0 - \tfrac{0{,}09 + 0{,}04}{36}\cdot4}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{6{,}3\ \mathrm{m/s}}} \] Rotasjonen tar bare en liten del av energien her.