Bevaring av bevegelsesmengde og kollisjoner

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Loven om bevaring av bevegelsesmengde

Fra \(\sum\vec F_\text{ytre} = \mathrm{d}\vec p/\mathrm{d}t\) følger det at hvis det ikke virker noen ytre krefter på et system, endrer ikke bevegelsesmengden seg:

\[ \sum\vec F_\text{ytre} = \vec 0 \quad\Rightarrow\quad \vec p_\text{før} = \vec p_\text{etter} \]

Krefter mellom delene av systemet (indre krefter) kommer i par etter Newtons 3. lov og nuller hverandre ut. De kan flytte bevegelsesmengde fra én del til en annen, men ikke endre summen.

Kollisjoner: Et støt varer svært kort, \(\Delta t \to 0\). Da blir kraftstøtet fra de ytre kreftene (tyngde, friksjon) forsvinnende lite, og \(\Delta\vec p \approx \vec 0\) er en svært god tilnærming, selv om det finnes ytre krefter.

Eksempel: Astronaut og eple. En astronaut (\(m_A = 100\ \mathrm{kg}\)) svever i ro og kaster et eple (\(m_E = 200\ \mathrm{g}\)) med \(v_E = 10\ \mathrm{m/s}\). Hvor fort får astronauten?

Ingen ytre krefter, så \(p_\text{før} = p_\text{etter}\): \[ 0 = m_Ev_E + m_Av_A \quad\Rightarrow\quad v_A = -\frac{m_E}{m_A}v_E = -\frac{0{,}200}{100}\cdot10\ \mathrm{m/s} = -0{,}02\ \mathrm{m/s} \] Astronauten glir sakte motsatt vei. Det er akkurat slik en rakett kan bevege seg i tomt rom: den skyter ut eksos bakover og får bevegelsesmengde framover.

Tre typer støt

  • Elastisk støt: bevegelsesmengden og den kinetiske energien er bevart.
  • Uelastisk støt: bevegelsesmengden er bevart, men noe kinetisk energi går til varme, lyd og deformasjon.
  • Fullstendig uelastisk støt: legemene henger sammen etterpå. Her tapes mest kinetisk energi.

Oversikten: Newtons 2. lov, \(\sum\vec F_\text{ytre} = \mathrm{d}\vec p/\mathrm{d}t\). Er \(\sum\vec F_\text{ytre} = \vec 0\), er bevegelsesmengden bevart. Er i tillegg kinetisk energi bevart, er støtet elastisk.

Elastisk støt mellom to vogner

Vogn 1 med masse \(m_1\) og fart \(v_1\) treffer vogn 2 med masse \(m_2\), som står i ro, på et friksjonsfritt underlag. Etter støtet har vogn 1 farten \(v_2\) og vogn 2 farten \(U\). Systemet er begge vognene.

  • Ytre krefter langs bevegelsen er null, så bevegelsesmengden er bevart: \[ m_1v_1 = m_1v_2 + m_2U \quad\Rightarrow\quad m_1(v_1 - v_2) = m_2U \tag{1} \]
  • Det gjøres ikke noe arbeid på systemet, og hvis ingen energi går til deformasjon, er kinetisk energi bevart: \[ \tfrac12 m_1v_1^2 = \tfrac12 m_1v_2^2 + \tfrac12 m_2U^2 \quad\Rightarrow\quad m_1(v_1^2 - v_2^2) = m_2U^2 \tag{2} \]

Triks: \(v_1^2 - v_2^2 = (v_1 - v_2)(v_1 + v_2)\). Deler vi (2) på (1), får vi

\[ v_1 + v_2 = U \qquad\text{(gjelder alle elastiske, rette støt)} \]

Setter vi dette inn i (1), finner vi farten til hver vogn: \[ U = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 \]

Lik masse (\(m_1 = m_2\)): \(v_2 = 0\) og \(U = v_1\). Den første vogna stopper helt, og den andre overtar all farten. Det ser du på biljardbordet!

Tung mot lett (\(m_1 \gg m_2\)): \(v_2 \approx v_1\) og \(U \approx 2v_1\). Lett mot tung (\(m_1 \ll m_2\)): \(v_2 \approx -v_1\), den lette spretter tilbake, og \(U \approx 0\).

Eksempel: Ball i vogn (fullstendig uelastisk). En ball (\(m = 1{,}0\ \mathrm{kg}\)) kastes med \(v = 20\ \mathrm{m/s}\) inn i en vogn (\(M = 10\ \mathrm{kg}\)) som står i ro. Ballen blir liggende i en pute i vogna.

1. Ingen ytre krefter vannrett, så bevegelsesmengden er bevart: \[ mv + M\cdot0 = (m + M)V_E \quad\Rightarrow\quad V_E = \frac{m}{m + M}v = \frac{1}{11}\cdot20\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}8\ \mathrm{m/s} \]

2. Er energien bevart? \(E_\text{før} = \frac12\cdot1\cdot20^2\ \mathrm{J} = 200\ \mathrm{J}\), men \(E_\text{etter} = \frac12\cdot11\cdot1{,}8^2\ \mathrm{J} \approx 18\ \mathrm{J}\). Hele \(182\ \mathrm{J}\) har gått til varme og støy i puta.

En bil med masse \(m\) og fart \(v\) kolliderer med en bil med masse \(2m\) som står i ro. Bilene henger sammen etterpå. Hvor stor andel av den kinetiske energien går tapt?

Bevegelsesmengden er bevart: \(mv = (m + 2m)U\), så \(U = v/3\). \[ \frac{E_\text{etter}}{E_\text{før}} = \frac{\frac12\cdot3m\cdot(v/3)^2}{\frac12 mv^2} = \frac13 \] Altså går \(\underline{\underline{2/3 \approx 67\ \%}}\) av den kinetiske energien tapt.

To curlingsteiner med masse \(19\ \mathrm{kg}\) kolliderer rett. Før støtet har A fart \(3{,}0\ \mathrm{m/s}\) mot høyre og B \(5{,}0\ \mathrm{m/s}\) mot venstre. Etter støtet har A fart \(4{,}5\ \mathrm{m/s}\) mot venstre.

  1. Finn farten til B etter støtet.

  2. Var støtet elastisk?

a) Positiv retning mot høyre. Massene er like og forkortes bort: \[ v_A + v_B = u_A + u_B \quad\Rightarrow\quad u_B = 3{,}0 + (-5{,}0) - (-4{,}5)\ \mathrm{m/s} = \underline{\underline{2{,}5\ \mathrm{m/s}}} \] mot høyre.

b) \(E_\text{før} = \frac12\cdot19\,(3{,}0^2 + 5{,}0^2)\ \mathrm{J} = 323\ \mathrm{J}\) og \(E_\text{etter} = \frac12\cdot19\,(4{,}5^2 + 2{,}5^2)\ \mathrm{J} \approx 252\ \mathrm{J}\). Energi har gått tapt, så støtet var ikke elastisk.

To skøyteløpere med masse \(M\) står i ro på friksjonsfri is. Løper A kaster en kasse med masse \(m\) med vannrett fart \(v_0\) til løper B, som tar imot og holder den.

  1. Hva blir farten \(u_1\) til A?

  2. Hva blir farten \(u_2\) til B med kassen?

a) \(0 = Mu_1 + mv_0\), så \(u_1 = -\dfrac{m}{M}v_0\). A glir motsatt vei.

b) Fullstendig uelastisk støt: \(mv_0 = (M + m)u_2\), så \(u_2 = \dfrac{m}{M + m}v_0\).

Et proton med fart \(v = 1{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}\) treffer et positron i ro i et rett, elastisk støt. Positronet har masse \(m = M/2000\), der \(M\) er protonmassen. Hva blir farten til hver partikkel?

Fra formlene for elastisk støt med \(m_1 = M\) og \(m_2 = m\): \[ u_\text{positron} = \frac{2M}{M + m}v = \frac{2}{1 + 1/2000}v \approx \underline{\underline{2{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}}} \] \[ u_\text{proton} = \frac{M - m}{M + m}v = \frac{1999}{2001}v \approx \underline{\underline{1{,}0\cdot10^6\ \mathrm{m/s}}} \] Det tunge protonet merker nesten ikke støtet, mens det lette positronet får dobbelt så stor fart. (Tung mot lett.)