Bevegelsesmengde og kraftstøt
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Bevegelsesmengde
\[ \vec p = m\vec v, \qquad [p] = \mathrm{kg\,m/s} = \mathrm{N\,s} \]
Bevegelsesmengden sier hvor vanskelig det er å stoppe noe som beveger seg, og har samme retning som hastigheten. Newtons 2. lov kan skrives med bevegelsesmengden: \[ \sum\vec F_\text{ytre} = \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} \] For konstant masse er dette det samme som \(m\vec a\), men formen over gjelder også når massen endrer seg, som for en rakett som brenner drivstoff.
Kraftstøt
Integrerer vi kraften over tiden den virker, får vi kraftstøtet (impulsen):
\[ \vec J = \int\sum\vec F\,\mathrm{d}t = \Delta\vec p \]
Kraftstøtet er arealet under \(F(t)\)-grafen, og det er lik endringen i bevegelsesmengde. Deler vi på tiden, får vi gjennomsnittskraften \(\bar F = J/\Delta t\).
Dette forklarer kollisjonsputer og knærne du bøyer når du lander: samme \(\Delta p\) fordelt over lengre tid gir mindre kraft.
Eksempel: Skip. Et skip på \(M = 4{,}00\) tonn har fart \(3{,}5\) knop (\(1\ \text{knop} = 1{,}852\ \mathrm{km/h} = 0{,}5144\ \mathrm{m/s}\)).
\(E_K = \frac12\cdot4{,}00\cdot10^3\ \mathrm{kg}\cdot(3{,}5\cdot0{,}5144\ \mathrm{m/s})^2 \approx 6{,}5\ \mathrm{kJ}\) og \(\vec p = m\vec v \approx 7{,}2\ \mathrm{kN\,s}\ \hat x\).
Eksempel: Lastebåt. To slepebåter drar i en lastebåt. Den ene drar med \(\vec F_1 = [50\ \mathrm{kN/s^2}\cdot t^2,\ 0]\) fra \(t = 0\) til \(2{,}1\ \mathrm{s}\), den andre med \(\vec F_2 = [0,\ -20\ \mathrm{kN/s^3}\cdot t^3]\) fra \(t = 1{,}0\ \mathrm{s}\) til \(3{,}0\ \mathrm{s}\).
a) Kraftstøtet: \[ \vec J = \left[\int_0^{2{,}1}50t^2\,\mathrm{d}t,\ -\int_{1{,}0}^{3{,}0}20t^3\,\mathrm{d}t\right]\mathrm{kN\,s} = \left[\tfrac{50}{3}(2{,}1)^3,\ -\tfrac{20}{4}(3^4 - 1^4)\right]\mathrm{kN\,s} \approx [0{,}15,\ -0{,}40]\ \mathrm{MN\,s} \]
b) Båten veier \(80\) tonn. Fartsendringen er \(|\Delta\vec v| = |\vec J|/m = 428{,}8\cdot10^3\ \mathrm{N\,s}/(80\cdot10^3\ \mathrm{kg}) \approx 5{,}4\ \mathrm{m/s}\). Realistisk? Neppe: vannmotstanden er ikke tatt med, og den er stor for en båt.
Eksempel: Ball mot vegg. En ball treffer en vegg. Støtet varer \(0{,}050\ \mathrm{s}\), ballen presses sammen maksimalt \(x_\text{maks} = 0{,}0010\ \mathrm{m}\), og den oppfører seg som en fjær med \(k = 5{,}00\ \mathrm{kN/m}\). Vi antar sammenpressingen \(x(t) = x_\text{maks}\sin(\omega t)\) med \(\omega = 2\pi/T\), der støtet varer en halv periode, så \(T = 0{,}10\ \mathrm{s}\).
Fjærkraften er \(F = -kx\), så \[ \Delta p = -\int_0^{T/2}kx_\text{maks}\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t = \frac{kx_\text{maks}}{\omega}\Big[\cos\omega t\Big]_0^{T/2} = -\frac{2kx_\text{maks}}{\omega} = -\frac{k}{\pi}\,T\,x_\text{maks} \] \[ \Delta p = -\frac{5{,}00\cdot10^3}{\pi}\cdot0{,}10\cdot0{,}0010\ \mathrm{N\,s} \approx -0{,}159\ \mathrm{N\,s} \] I denne modellen gjør bare fjærkraften arbeid, så energien er bevart: ballen snur med samme fart, \(\vec p_\text{etter} = -\vec p_\text{før}\). Da er \(|\Delta p| = 2|p_\text{før}|\), og med ballens masse \(0{,}017\ \mathrm{kg}\): \[ v_\text{før} = \frac{|\Delta p|}{2m} = \frac{0{,}159}{2\cdot0{,}017}\ \mathrm{m/s} \approx 4{,}7\ \mathrm{m/s} \] Design et forsøk for å teste antakelsen om at energien er bevart!
Eksempel: Sprettball mot gulvet. En ball slippes fra høyden \(h\) og treffer gulvet med \(v = \sqrt{2\mathrm{g}h}\). Hvis støtet er elastisk, snur den med samme fart, og \[ \Delta p = -2p_\text{før} = -2m\sqrt{2\mathrm{g}h} \] En dårlig sprettball spretter bare opp til \(0{,}80h\). Da er farten etter \(\sqrt{2\mathrm{g}\cdot0{,}80h}\), og \[ \Delta p = -m\sqrt{2\mathrm{g}h}\left(1 + \sqrt{0{,}80}\right) \approx -1{,}89\,p_\text{før} \] Antakelsen om energibevaring (som ga faktoren 2) er altså ganske god, selv når sprettet er dårlig. (Test: forelesers ball beholdt 86 % av høyden.)
En fjærkraft \(F = kx(t)\) med \(k = 200\ \mathrm{N/m}\) virker på et legeme med posisjon \(x(t) = \cos(\omega t)\) (i meter), der \(\omega = 2\pi\ \mathrm{rad/s}\). Hvor stort er kraftstøtet fra \(t_1 = 0\) til \(t_2 = 0{,}25\ \mathrm{s}\)?
\[ I = \int_{t_1}^{t_2}k\cos(\omega t)\,\mathrm{d}t = \frac{k}{\omega}\Big[\sin\omega t\Big]_0^{0{,}25} = \frac{200}{2\pi}\left(\sin\tfrac{\pi}{2} - 0\right)\mathrm{N\,s} = \frac{100}{\pi}\ \mathrm{N\,s} \approx \underline{\underline{32\ \mathrm{N\,s}}} \] (Med fortegnet til en ekte fjærkraft, \(F = -kx\), peker kraftstøtet i negativ retning, men størrelsen er den samme.)
Et gevær med masse \(M = 2{,}0\ \mathrm{kg}\) ligger på et vannrett underlag. En kule med \(m = 10\ \mathrm{g}\) skytes ut med \(v_0 = 700\ \mathrm{m/s}\).
Hvor stor rekylfart får geværet?
Kula treffer en betongvegg og spretter rett tilbake med samme fart. Hva er kraften fra veggen, hvis den er konstant og kontakttiden er \(\tau = 10\ \mathrm{ms}\)?
En mer realistisk modell er \(F(t) = F_\text{maks}\,e^{-(t/\tau)^2}\). Finn \(F_\text{maks}\) med \(\tau = 10\ \mathrm{ms}\). Hint: \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi/a}\).
a) Før skuddet er alt i ro, så \(0 = mv_0 + Mu\): \[ u = -\frac{m}{M}v_0 = -\frac{0{,}010}{2{,}0}\cdot700\ \mathrm{m/s} = \underline{\underline{-3{,}5\ \mathrm{m/s}}} \]
b) Med positiv retning langs farten etter støtet er \(\Delta p = mv - m(-v) = 2mv\), så \[ F = \frac{2mv}{\tau} = \frac{2\cdot0{,}010\cdot700}{0{,}010}\ \mathrm{N} = \underline{\underline{1{,}4\ \mathrm{kN}}} \]
c) Med \(a = 1/\tau^2\) er \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/\tau^2}\,\mathrm{d}t = \tau\sqrt{\pi}\). Kraftstøtet skal være \(2mv\): \[ F_\text{maks}\,\tau\sqrt\pi = 2mv \quad\Rightarrow\quad F_\text{maks} = \frac{2mv}{\tau\sqrt\pi} \approx \underline{\underline{0{,}79\ \mathrm{kN}}} \] Maksimalverdien er mindre enn den konstante kraften, fordi den varierende kraften i praksis virker over lengre tid enn \(\tau\). Det er dette boksere utnytter når de beveger seg bakover med slaget: lengre kontakttid gir mindre kraft.