Potensiell energi og bevaring av energi
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Potensiell energi
Potensiell energi er et potensial for å utføre arbeid: energi som er lagret, og som kan bli til bevegelse.
\[ \text{tyngdefeltet: } U = m\mathrm{g}h, \qquad \text{fjær: } U = \tfrac12 kx^2 \]
Husk at du må velge et nullnivå for høyden \(h\). Det er bare endringen \(\Delta U = m\mathrm{g}\Delta h\) som betyr noe fysisk, så velg det som gjør regningen enklest, ofte bakken eller det laveste punktet.
Arbeidet tyngdekraften eller en fjær gjør, avhenger bare av start- og sluttpunktet, ikke av veien imellom. Slike krefter kalles konservative, og det er derfor de har en potensiell energi. Friksjon er ikke konservativ: jo lengre vei, jo mer energi tar den.
Bevaring av mekanisk energi
Når et legeme beveger seg under påvirkning av bare tyngdekraft og/eller fjærkraft (i bevegelsesretningen), er den mekaniske energien bevart:
\[ E_\text{etter} = E_\text{før}, \qquad E = \tfrac12 mv^2 + m\mathrm{g}h + \tfrac12 kx^2 \]
Normalkrefter som står vinkelrett på bevegelsen, gjør ikke arbeid og ødelegger ikke bevaringen.
Eksempel: Ned en bakke. En person (\(M = 75\ \mathrm{kg}\)) sklir fra ro ned en bakke uten friksjon. Bakken er \(h = 2\ \mathrm{m}\) høy, og står på et platå \(H = 4\ \mathrm{m}\) over bakkenivå.
a) Hva er den potensielle energien på toppen? Det kommer an på hva du velger som nullnivå! Med bunnen av bakken som nullnivå er \(U = m\mathrm{g}h\); med bakkenivået under platået er \(U = m\mathrm{g}(h + H)\).
b) Farten i bunnen: \(E_\text{før} = m\mathrm{g}h\) og \(E_\text{etter} = \frac12 mv^2\), så \[ v = \sqrt{2\mathrm{g}h} = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot2}\ \mathrm{m/s} \approx 6\ \mathrm{m/s} \] Massen forsvinner, og svaret avhenger ikke av valget av nullnivå.
Eksempel: Fjærkanon i tyngdefeltet. En kule (\(m = 0{,}066\ \mathrm{kg}\)) skytes rett opp av en fjærkanon. Fjæra presses sammen \(x = 7{,}5\ \mathrm{cm}\), og kula stiger \(h = 121{,}5\ \mathrm{cm}\) over punktet der den forlater fjæra.
Fjærkonstanten: Mellom laveste punkt (1) og toppen (3) er energien bevart, og kula ligger i ro begge steder. Fjærenergien blir til høydeenergi over høyden \(h + x\): \[ \tfrac12 kx^2 = m\mathrm{g}(h + x) \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2m\mathrm{g}(h + x)}{x^2} = \frac{2\cdot0{,}066\cdot9{,}81\cdot1{,}29}{0{,}075^2}\ \mathrm{N/m} \approx 0{,}30\ \mathrm{kN/m} \]
Utgangsfarten, metode 1: Fra (2) der kula forlater fjæra, til toppen (3): \(\frac12 mv_0^2 = m\mathrm{g}h\), så \(v_0 = \sqrt{2\mathrm{g}h} \approx 4{,}9\ \mathrm{m/s}\).
Metode 2: Fra (1) til (2): \(\frac12 kx^2 = \frac12 mv_0^2 + m\mathrm{g}x\), så \(v_0 = \sqrt{kx^2/m - 2\mathrm{g}x} \approx 4{,}9\ \mathrm{m/s}\). Samme svar. ✓
Hvor langt går kula skutt på skrå? Samme kanon skytes med \(60^\circ\) fra en kant, og kula lander \(0{,}27\ \mathrm{m}\) lavere. Med \(v_{0y} = v_0\sin60^\circ = 4{,}23\ \mathrm{m/s}\) gir \(\tilde y = v_{0y}t - \frac12\mathrm{g}t^2 = -0{,}27\ \mathrm{m}\) en andregradslikning med positiv løsning \(t \approx 0{,}92\ \mathrm{s}\). Da blir \[ \tilde x = v_0\cos60^\circ\cdot t \approx 2{,}26\ \mathrm{m} \] Målt i forelesningen: \(2{,}38\ \mathrm{m}\). Hvorfor? Diskuter: er startpunktet målt riktig, er fjæra helt lik hver gang, og gir høydemålingen av \(h\) (og dermed \(v_0\)) et for lavt tall? Små feil i \(v_0\) gir store utslag, fordi kastlengden går som \(v_0^2\).
En strategi som alltid virker
- Tegn situasjonen før og etter, og velg nullnivå for høyden.
- Sjekk at bare konservative krefter gjør arbeid (ellers: ta med arbeidet fra friksjon som tap).
- Skriv \(E_\text{før} = E_\text{etter}\) med alle energiformene.
- Trenger du krefter (for eksempel normalkraft), kombiner med Newtons 2. lov.
To bøker med samme masse står på samme hylle. Bok A står over en fryser (høyde \(h\) over fryseren), bok B rett over gulvet (høyde \(H > h\) over gulvet). Hvilken bok har størst potensiell energi? Bok B faller (\(m = 0{,}80\ \mathrm{kg}\)). Hvor stort arbeid har tyngdekraften gjort når farten er \(1{,}0\ \mathrm{m/s}\)?
For å snakke om potensiell energi må vi velge ett nullnivå. Uansett hvilket vi velger, står bøkene like høyt over det, så de har like stor potensiell energi. At bok A bare kan falle ned til fryseren, endrer ikke det.
Arbeidet fra tyngden er lik endringen i kinetisk energi (arbeid-energi-setningen): \[ W_G = \tfrac12 mv^2 - 0 = \tfrac12\cdot0{,}80\cdot1{,}0^2\ \mathrm{J} = \underline{\underline{0{,}40\ \mathrm{J}}} \]
En person på \(60\ \mathrm{kg}\) starter fra ro på toppen av en bakke uten friksjon, med høydeforskjell \(20\ \mathrm{m}\). Hvor stor fart har personen i bunnen?
\(m\mathrm{g}h = \frac12 mv^2\), så \(v = \sqrt{2\mathrm{g}h} = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot20}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{20\ \mathrm{m/s}}}\). Massen spiller ingen rolle.
En person letter fra en hoppkant med vannrett fart \(22{,}1\ \mathrm{m/s}\) og faller \(1{,}5\ \mathrm{m}\). Hvor stor er den totale farten i det hun treffer bakken?
I loddrett retning gjør tyngden arbeidet \(m\mathrm{g}h\), som blir til loddrett bevegelsesenergi: \(m\mathrm{g}h = \frac12 mv_y^2\), så \(v_y = \sqrt{2\mathrm{g}h} \approx 5{,}42\ \mathrm{m/s}\). Vannrett er farten uendret. Totalt: \[ v = \sqrt{22{,}1^2 + 5{,}42^2}\ \mathrm{m/s} \approx \underline{\underline{23\ \mathrm{m/s}}} \]
En ball kastes med \(v_0 = 5{,}0\ \mathrm{m/s}\) i \(30^\circ\) vinkel med bakken. Bruk energibevaring til å finne hvor høyt den går.
På toppen er farten bare vannrett, og den vannrette farten endres aldri. Bare den loddrette delen av den kinetiske energien blir til høyde: \[ \tfrac12 mv_{0y}^2 = m\mathrm{g}h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{(v_0\sin30^\circ)^2}{2\mathrm{g}} = \frac{2{,}5^2}{2\cdot9{,}81}\ \mathrm{m} \approx \underline{\underline{0{,}32\ \mathrm{m}}} \]
En vogn starter fra ro i høyden \(h\) over bunnen A av en loop med radius \(r\). Ingen friksjon.
Fra hvilken høyde må vogna slippes for akkurat å komme rundt uten å miste kontakten?
Vogna slippes fra \(h = 3r\). Finn normalkraften på toppen C, uttrykt ved tyngden \(G\).
Finn normalkraften midtveis opp, i B.
a) På grensen er normalkraften på toppen null: \(N_C + G = mv_C^2/r\) med \(N_C = 0\) gir \(v_C^2 = \mathrm{g}r\). Energibevaring fra start til toppen (høyde \(2r\)): \[ m\mathrm{g}h = \tfrac12 mv_C^2 + m\mathrm{g}\cdot2r = \tfrac12 m\mathrm{g}r + 2m\mathrm{g}r \quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{h = \tfrac52 r}} \]
b) På toppen: \(N_C = mv_C^2/r - m\mathrm{g}\), så \(N_C/G = v_C^2/(\mathrm{g}r) - 1\). Energi fra \(h = 3r\) ned til \(2r\): \(\frac12 mv_C^2 = m\mathrm{g}r\), så \(v_C^2 = 2\mathrm{g}r\). Dermed \(N_C/G = 2 - 1\): \(\underline{\underline{N_C = G}}\).
c) I B peker bare normalkraften inn mot sentrum: \(N_B = mv_B^2/r\). B ligger i høyden \(r\), så vogna har falt \(2r\): \(v_B^2 = 4\mathrm{g}r\). Dermed \(\underline{\underline{N_B = 4G}}\).
En person med masse \(m\) faller fra en bro. Strikken er en ideell fjær med fjærstivhet \(k\) og lengde \(L\) når den ikke er strukket. Når er farten størst, og hvor stor er den?
Farten øker så lenge tyngden er større enn fjærkraften. Den er størst der kreftene balanserer: \(kx = m\mathrm{g}\), altså \(x = m\mathrm{g}/k\) forbi strikkens lengde.
Energibevaring fra broa til dette punktet (falt \(L + x\)): \[ m\mathrm{g}(L + x) = \tfrac12 mv_\text{maks}^2 + \tfrac12 kx^2 \] Setter inn \(x = m\mathrm{g}/k\): \[ v_\text{maks}^2 = 2\mathrm{g}L + \frac{2m\mathrm{g}^2}{k} - \frac{m\mathrm{g}^2}{k} \quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{v_\text{maks} = \sqrt{\frac{m\mathrm{g}^2}{k} + 2\mathrm{g}L}}} \]
En kule på \(80\ \mathrm{g}\) skytes ut av en fjær som er presset sammen \(x = 7{,}0\ \mathrm{cm}\). Flipperspillet heller \(\theta = 15^\circ\), og kula sklir uten friksjon. Hvor stor må fjærkonstanten være for at kula akkurat skal nå toppen, \(s = 78\ \mathrm{cm}\) fra der den forlater fjæra?
Kula løftes langs planet strekningen \(s + x\), altså høyden \(h = (s + x)\sin\theta\). Energibevaring: \[ \tfrac12 kx^2 = m\mathrm{g}(s + x)\sin\theta \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2m\mathrm{g}(s + x)\sin\theta}{x^2} = \frac{2\cdot0{,}080\cdot9{,}81\cdot0{,}85\cdot\sin15^\circ}{0{,}070^2}\ \mathrm{N/m} \approx \underline{\underline{70\ \mathrm{N/m}}} \]