Newtons 2. lov i sirkelbevegelse

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

I kinematikken så vi at et legeme i sirkelbevegelse med konstant fart har akselerasjonen \(a = v^2/r\), rettet inn mot sentrum. Newtons 2. lov sier da hvor stor kraftsum som trengs:

\[ \sum F_{\text{inn mot sentrum}} = m\,\frac{v^2}{r} \]

Det er ingen ny kraft. Det er summen av de vanlige kreftene (friksjon, normalkraft, tyngde, snordrag …) som må peke inn mot sentrum med denne størrelsen. Den «sentrifugalkraften» du føler i en karusell, er like stor og motsatt rettet, og kalles en fiktiv kraft: den er bare en følge av at du selv akselererer.

Eksempel: Bil i sving. En bil med masse \(m = 1000\ \mathrm{kg}\) kjører i \(36\ \mathrm{km/h}\) gjennom en sirkulær sving med radius \(R = 20\ \mathrm{m}\).

a) Akselerasjonen: \(v = 36/3{,}6\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}\), så \[ a = \frac{v^2}{R} = \frac{(10\ \mathrm{m/s})^2}{20\ \mathrm{m}} = 5{,}0\ \mathrm{m/s^2} \]

b) Kraftsummen: \(\sum F = m\dfrac{v^2}{R} = 1000\ \mathrm{kg}\cdot5{,}0\ \mathrm{m/s^2} = 5{,}0\ \mathrm{kN}\). Loddrett er \(N = G\). Det er friksjonen mellom dekk og vei som gir kraften inn mot sentrum. Er veien glatt, klarer ikke friksjonen dette, og bilen sklir rett fram.

Eksempel: Dosering av veibanen. Kan en bil med konstant fart kjøre gjennom en sirkulær sving uten friksjon? Ja, hvis veien heller innover med vinkelen \(\alpha\) (dosering).

Uten friksjon er normalkraften den eneste kraften fra veien. Den står vinkelrett på veibanen, så den har en loddrett del \(N_V = N\cos\alpha\) og en vannrett del \(N_H = N\sin\alpha\) inn mot sentrum.

Loddrett: \(N_V - G = 0 \;\Rightarrow\; N_V = m\mathrm{g}\)

Vannrett: \(N_H = m\dfrac{v^2}{r}\)

Deler vi den ene på den andre, får vi \(\tan\alpha = N_H/N_V\):

\[ \tan\alpha = \frac{v^2}{\mathrm{g}r} \]

Skal en bil kjøre med fart \(v\) gjennom en sving med radius \(r\) uten å trenge friksjon, bør doseringen være \(\alpha = \arctan\!\big(v^2/(\mathrm{g}r)\big)\).

Loop: berg-og-dalbane

I en loop endrer kreftene seg rundt sirkelen. Vi velger positiv retning inn mot sentrum:

I bunnen (A): normalkraften peker opp (inn), tyngden ned (ut): \(N - G = m v_A^2/r\), så \(N = G + mv_A^2/r\). Du kjenner deg tyngre.
Midtveis (B): bare normalkraften peker inn mot sentrum: \(N = mv_B^2/r\). Tyngden virker langs banen og bremser vogna med \(a = \mathrm{g}\).
På toppen (C): både normalkraften og tyngden peker ned (inn): \(N + G = mv_C^2/r\).

Vogna mister kontakten med banen hvis \(N\) blir null. Det skjer først på toppen.

En vogn kjører gjennom loopen over, uten friksjon og luftmotstand, og fullfører hele runden.

Hvilke påstander er riktige?

A. I punkt A er normalkrafta lik vognas tyngde.
B. I punkt A er normalkrafta større enn vognas tyngde.
C. I punkt B er sentripetalakselerasjonen null.
D. I punkt B er den tangentielle akselerasjonen lik \(\mathrm{g}\).
E. I punkt C er sentripetalakselerasjonen lik \(\mathrm{g}\).

Et akselerometer i vogna måler \(a_\perp = 3\mathrm{g}\) på toppen C. Hva er normalkraften der, uttrykt ved tyngden \(G\)?

a) I A er \(N = G + mv_A^2/r > G\): A er feil, B er riktig. I B er \(a_\perp = N/m \neq 0\) (vogna går jo i sirkel): C er feil. Langs banen virker bare tyngden, så \(a_\text{tang} = -\mathrm{g}\): D er riktig. I C er \(a_\perp = (N + G)/m\). Den er bare lik \(\mathrm{g}\) hvis \(N = 0\), altså helt på grensen til å miste kontakten: E er feil (generelt).

Riktige påstander: B og D.

b) På toppen: \(N + G = m a_\perp = m\cdot3\mathrm{g} = 3G\), så \(\underline{\underline{N = 2G}}\).

Skriv Newtons 2. lov for en bil i bunnen (A) og på toppen (B) av en vertikal loop med radius \(r\), og forklar hvorfor \(N_B < N_A\) hvis farten var lik.

I bunnen: \(N_A - G = m\dfrac{v_A^2}{r}\), så \(N_A = m\dfrac{v_A^2}{r} + G\).

På toppen: \(N_B + G = m\dfrac{v_B^2}{r}\), så \(N_B = m\dfrac{v_B^2}{r} - G\).

Med samme fart er forskjellen \(N_A - N_B = 2G\). I bunnen må normalkraften både bære tyngden og gi sentripetalkraften; på toppen hjelper tyngden til. (I virkeligheten er farten også lavere på toppen, så forskjellen blir enda større.)