Sirkelbevegelse og sentripetalakselerasjon
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Også i en sirkelbevegelse er hastigheten den deriverte av posisjonen, og akselerasjonen den deriverte av hastigheten: \[ \vec v(t) = \frac{\mathrm{d}\vec R}{\mathrm{d}t}, \qquad \vec a(t) = \frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\vec R}{\mathrm{d}t^2} \] Hastigheten peker alltid langs tangenten til sirkelen.
To deler av akselerasjonen
For sirkelbevegelse er det lurt å dele akselerasjonen i to:
\[ \vec a = \underbrace{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}_{a_\parallel}\,\hat u_\parallel + \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{a_\perp}\,\hat u_\perp \]
- \(\hat u_\parallel\) er en enhetsvektor langs tangenten (i fartsretningen). Delen \(a_\parallel\) kalles baneakselerasjon: den endrer farten.
- \(\hat u_\perp\) er en enhetsvektor som peker inn mot sentrum. Delen \(a_\perp\) kalles sentripetalakselerasjon: den endrer retningen.
Den totale akselerasjonen er lengden av summen. Siden de to delene står vinkelrett på hverandre, bruker vi Pytagoras: \(a = \sqrt{a_\parallel^2 + a_\perp^2}\).
Konstant fart
Går legemet rundt med konstant fart, er \(a_\parallel = 0\), og bare sentripetalakselerasjonen er igjen:
\[ a = \frac{v^2}{R} \quad \text{(rettet inn mot sentrum)} \]
Farten kan også skrives med frekvensen \(f\) (omdreininger per sekund), perioden \(T = 1/f\) (tid for én runde) eller vinkelfarten \(\omega = 2\pi f\). På én runde går legemet omkretsen \(2\pi R\), så \(v = 2\pi R/T = 2\pi R f = \omega R\). Det gir
\[ a = \frac{v^2}{R} = 4\pi^2 f^2 R = \frac{4\pi^2}{T^2} R = \omega^2 R \]
Ja! Akselerasjon er endring i hastighet, og hastighet er en vektor. Selv om farten (lengden av vektoren) er konstant, snur retningen hele tiden. Da endres hastigheten, og det er akselerasjon. Det er sentripetalakselerasjonen du kjenner når bilen tar en skarp sving.
Eksempel: Vaskemaskin. En vaskemaskin sentrifugerer med \(1300\) omdreininger per minutt. Trommelen har radius \(R = 0{,}25\ \mathrm{m}\). Hvor stor er akselerasjonen til klærne langs veggen?
Frekvensen i omdreininger per sekund: \(f = 1300/60\ \mathrm{s^{-1}} \approx 21{,}7\ \mathrm{Hz}\). Farten er konstant, så \[ a = 4\pi^2 f^2 R = 4\pi^2\cdot(21{,}7\ \mathrm{s^{-1}})^2\cdot0{,}25\ \mathrm{m} \approx \underline{\underline{4{,}6\cdot10^3\ \mathrm{m/s^2}}} \] Det er nesten 500 ganger tyngdeakselerasjonen! Derfor blir vannet slynget ut av klærne.
I sirkelbevegelse med konstant fart er sentripetalakselerasjonen \(a = v^2/r\). Men akselerasjon handler om endring i hastighet. Burde ikke akselerasjonen være null når \(v\) er konstant? Forklar.
Fart og hastighet er ikke det samme. Fart er hvor fort legemet går, et tall. Hastighet er fart med retning, en vektor, og farten er lengden av hastighetsvektoren.
I en sving er farten konstant, men retningen endres hele tiden. Da endres hastigheten, og \[ \vec a = \frac{\Delta\vec v}{\Delta t} \neq \vec 0 \] Ved konstant banefart peker denne akselerasjonen inn mot sentrum, og den er \(a_\perp = v^2/r\).
En satellitt går i sirkelbane \(500\ \mathrm{km}\) over jordoverflaten. Jordas radius er \(6370\ \mathrm{km}\). Satellitten bruker \(95\) minutter på én runde. Finn banefarten.
Radien i banen måles fra jordas sentrum: \(R = 6370\ \mathrm{km} + 500\ \mathrm{km} = 6870\ \mathrm{km}\). På én periode \(T\) går satellitten én omkrets: \[ v = \frac{s}{T} = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi\cdot6{,}87\cdot10^6\ \mathrm{m}}{95\cdot60\ \mathrm{s}} \approx 7{,}6\cdot10^3\ \mathrm{m/s} = \underline{\underline{7{,}6\ \mathrm{km/s}}} \]
En bil starter fra ro og kjører med jevnt økende fart rundt i en sirkelformet rundkjøring.
Skisser \(a_\parallel(t)\) og \(a_\perp(t)\). Hva skjer hvis bilen slutter å øke farten når den når \(v_{\max}\)?
Radien er \(60\ \mathrm{m}\), og farten øker jevnt fra 0 til \(60\ \mathrm{km/h}\) på \(6{,}0\ \mathrm{s}\). Finn \(a_\parallel\), \(a_\perp\) og den totale akselerasjonen idet farten er \(60\ \mathrm{km/h}\).
a) Farten øker jevnt, så \(a_\parallel = \Delta v/\Delta t\) er konstant. Med \(v = a_\parallel t\) blir \[ a_\perp = \frac{v^2}{R} = \frac{(a_\parallel t)^2}{R} = \frac{a_\parallel^2}{R}\,t^2 \] som vokser som en parabel. Når \(v_{\max}\) er nådd, faller \(a_\parallel\) til null, mens \(a_\perp\) blir liggende konstant på \(v_{\max}^2/R\):
b) Baneakselerasjonen: \[ a_\parallel = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{60/3{,}6\ \mathrm{m/s}}{6{,}0\ \mathrm{s}} \approx \underline{\underline{2{,}8\ \mathrm{m/s^2}}} \] Sentripetalakselerasjonen ved \(60\ \mathrm{km/h}\): \[ a_\perp = \frac{v^2}{R} = \frac{(60/3{,}6\ \mathrm{m/s})^2}{60\ \mathrm{m}} \approx \underline{\underline{4{,}6\ \mathrm{m/s^2}}} \] De står vinkelrett på hverandre, så \[ a = \sqrt{a_\parallel^2 + a_\perp^2} = \sqrt{2{,}78^2 + 4{,}63^2}\ \mathrm{m/s^2} \approx \underline{\underline{5{,}4\ \mathrm{m/s^2}}} \] Her antar vi at bilen fortsatt akselererer akkurat idet den når \(60\ \mathrm{km/h}\).