8.9 Ekstraoppgaver
Kapittel 8: Termofysikk
Dette kapittelet skrives fortsatt.
Her er flere oppgaver fra temaene vi har behandlet i dette kapitlet.
Bremser som blir varme
En bil med masse \(1.2\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg}\) kjører i \(72\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\) og bremser helt ned til stillstand. Anta at all den kinetiske energien blir til indre energi i de fire bremseskivene av jern, som har en samlet masse på \(12\,\mathrm{kg}\).
Finn den kinetiske energien til bilen før bremsingen.
Hvor mye stiger temperaturen i bremseskivene? (\(c_\text{jern} = 0.45\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\).)
a) Farten er \(v = 72\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1} = \frac{72}{3.6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\): \[E_\text{K} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\cdot1.2\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg}\cdot(20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2 = \underline{\underline{2.4\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}}}\]
b) All den kinetiske energien blir til indre energi i bremseskivene, \(Q = c\,m\,\Delta T = E_\text{K}\): \[\Delta T = \frac{E_\text{K}}{c\,m} = \frac{2.4\cdot 10^{5}\,\mathrm{J}}{450\,\mathrm{J}\,\mathrm{(}^{-1}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{K}\,\mathrm{)}\cdot12\,\mathrm{kg}} = 44.4\,\mathrm{K} \approx \underline{\underline{44\,\mathrm{K}}}\] Strengt tatt er dette arbeid (friksjon), ikke varme, men regningen blir den samme.
Isbiter i te
Du har \(0.30\,\mathrm{kg}\) te med temperatur \(80\,^\circ\)C, men vil drikke den ved \(50\,^\circ\)C. Du legger i is med temperatur \(0\,^\circ\)C. Hvor mye is må du bruke? Anta at teen oppfører seg termisk som vann, og se bort fra koppen og varmetap til omgivelsene. (\(c_\text{vann} = 4.2\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\), \(\ell_\text{smelte} = 334\,\mathrm{kJ/kg}\).)
Teen kjøles fra \(80\,^\circ\)C til \(50\,^\circ\)C og avgir varmen \[Q_\text{te} = c_\text{vann}\,m_\text{te}\,\Delta T = 4.2\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\cdot0.30\,\mathrm{kg}\cdot30\,\mathrm{K} = 37.8\,\mathrm{kJ}\] Isen med masse \(m\) må først smelte ved \(0\,^\circ\)C, og så må smeltevannet varmes opp til \(50\,^\circ\)C: \[Q_\text{is} = \ell_\text{smelte}\,m + c_\text{vann}\,m\cdot50\,\mathrm{K} = m\,(334\,\mathrm{kJ/kg} + 210\,\mathrm{kJ/kg}) = m\cdot544\,\mathrm{kJ/kg}\] Varmen teen avgir, er lik varmen isen tar opp: \[m = \frac{37.8\,\mathrm{kJ}}{544\,\mathrm{kJ/kg}} = 0.0695\,\mathrm{kg} \approx \underline{\underline{69\,\mathrm{g}}}\]
Ballong i fryseren
En ballong har volumet \(3.0\,\mathrm{L}\) ved \(22\,^\circ\)C. Den legges i en fryser som holder \(-18\,^\circ\)C. Anta at trykket i ballongen er konstant. Hva blir volumet til ballongen når lufta inni har fått samme temperatur som fryseren?
Temperaturene i kelvin er \(T_1 = 22 + 273 = 295\,\mathrm{K}\) og \(T_2 = -18 + 273 = 255\,\mathrm{K}\). Trykket og antall molekyler er konstant, så \(V/T\) er konstant: \[V_2 = V_1\cdot\frac{T_2}{T_1} = 3.0\,\mathrm{L}\cdot\frac{255\,\mathrm{K}}{295\,\mathrm{K}} = 2.59\,\mathrm{L} \approx \underline{\underline{2.6\,\mathrm{L}}}\] Ballongen krymper litt, men ikke så mye som man kanskje skulle tro. Det er temperaturen i kelvin som teller, og den synker bare med omtrent \(14\,\%\).
Molekyler i et klasserom
Et klasserom er \(8.0\,\mathrm{m}\) langt, \(6.0\,\mathrm{m}\) bredt og \(3.0\,\mathrm{m}\) høyt. Lufttrykket er \(1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\), og temperaturen er \(20\,^\circ\)C.
Hvor mange luftmolekyler er det i rommet?
Temperaturen stiger til \(25\,^\circ\)C, mens trykket er det samme fordi døra står på gløtt. Omtrent hvor mange molekyler har forlatt rommet?
a) Volumet er \(V = 8.0\,\mathrm{m}\cdot6.0\,\mathrm{m}\cdot3.0\,\mathrm{m} = 144\,\mathrm{m}^{3}\), og \(T_1 = 20 + 273 = 293\,\mathrm{K}\): \[N_1 = \frac{pV}{k_\text{B}T_1} = \frac{1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\cdot144\,\mathrm{m}^{3}}{1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot293\,\mathrm{K}} = 3.56\cdot 10^{27}\, \approx \underline{\underline{3.6\cdot 10^{27}}}\]
b) Ved \(T_2 = 25 + 273 = 298\,\mathrm{K}\), med samme \(p\) og \(V\): \[N_2 = \frac{pV}{k_\text{B}T_2} = N_1\cdot\frac{T_1}{T_2} = 3.56\cdot 10^{27}\cdot\frac{293}{298} = 3.50\cdot 10^{27}\] Antall molekyler som har forlatt rommet: \[N_1 - N_2 = 3.56\cdot 10^{27} - 3.50\cdot 10^{27} \approx \underline{\underline{6.0\cdot 10^{25}}}\] Det er bare omtrent \(1.7\,\%\) av molekylene, men likevel et enormt tall.
Kobber i vann
Et lodd av kobber med masse \(0.20\,\mathrm{kg}\) blir varmet opp til \(100\,^\circ\)C i kokende vann. Så slippes det ned i en godt isolert beholder med \(0.50\,\mathrm{kg}\) vann med temperatur \(15\,^\circ\)C. Se bort fra beholderen. Hva blir slutt-temperaturen? (\(c_\text{kobber} = 0.39\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\), \(c_\text{vann} = 4.2\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\).)
Kobberet avgir varme og kjøles fra \(100\,^\circ\)C til slutt-temperaturen \(t\). Vannet tar opp varmen og varmes fra \(15\,^\circ\)C til \(t\). Varmen kobberet avgir, er lik varmen vannet tar opp: \[c_\text{k}\,m_\text{k}\,(100 - t) = c_\text{v}\,m_\text{v}\,(t - 15)\] Med tallene inn (i kJ/K): \[0.39\cdot 0.20\cdot(100 - t) = 4.2\cdot 0.50\cdot(t - 15)\] \[7.8 - 0.078\,t = 2.1\,t - 31.5 \quad\implies\quad t = \frac{7.8 + 31.5}{2.1 + 0.078} = 18.0\,{}^{\circ}\mathrm{C} \approx \underline{\underline{18\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}\] Vannet blir bare litt varmere. Vann har mye større spesifikk varmekapasitet enn kobber, og det er i tillegg mer vann enn kobber.