8.5 Tilstandslikninga for idealgass
Kapittel 8: Termofysikk
Dette kapittelet skrives fortsatt.
For en idealgass er det en enkel sammenheng mellom trykk \(p\), volum \(V\) og absolutt temperatur \(T\). Vi bruker \(N\) for antall molekyler og \(k_\text{B}\) for Boltzmanns konstant:
\[pV = N k_\text{B} T\] Alle fire størrelser \(p\), \(V\), \(N\), \(T\) er koblet: holder man to konstante, bestemmer de to andre hverandre.
Er antall mol \(n\) gitt i stedet for antall molekyler \(N\), bruker man gassonstanten \(R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{(}^{-1}\,\mathrm{mol}\,\mathrm{K}\,\mathrm{)}\): \(pV = nRT\). Sammenhengen er \(N k_\text{B} = n R\).
Eksempel 8.11: Oppvarming av gass i lukket beholder
En luftbobble med volum \(V_1 = 30\,\mathrm{dm}^{3}\) er ved trykk \(p_1 = 100\,\mathrm{kPa}\) og temperatur \(T_1 = 300\,\mathrm{K}\) (lukket beholder, \(V =\) konst.). Trykket økes til \(p_2 = 180\,\mathrm{kPa}\). Finn den nye temperaturen \(T_2\).
Siden \(N\) og \(V\) er konstante, gir tilstandslikninga: \[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1} = 300\,\mathrm{K} \cdot \frac{180\,\mathrm{kPa}}{100\,\mathrm{kPa}} = 540\,\mathrm{K} = \underline{\underline{267\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}\]
Eksempel 8.12: Molekyler i en ballong
En ballong har volumet \(5.0\,\mathrm{L}\). Trykket i ballongen er \(1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\), og temperaturen er \(20\,^\circ\)C. Hvor mange molekyler er det i ballongen?
Vi gjør om til SI-enheter: \(V = 5.0\,\mathrm{L} = 5.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}\) og \(T = 20 + 273 = 293\,\mathrm{K}\). Vi løser tilstandslikninga for \(N\): \[N = \frac{pV}{k_\text{B}T} = \frac{1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\cdot5.0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}}{1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot293\,\mathrm{K}} = 1.24\cdot 10^{23} \approx \underline{\underline{1.2\cdot 10^{23}}}\] Det er et enormt tall, selv for en liten ballong. Det tilsvarer omtrent \(0.2\) mol.
Sylindereksperiment
En gass i en sylinder har volum \(V_1 = 30\,\mathrm{dm}^{3}\), trykk \(p_1 = 100\,\mathrm{kPa}\) og temperatur \(T_1 = 300\,\mathrm{K}\). Stempelet beveger seg slik at gassen utvider seg ved konstant trykk (isobart), helt til temperaturen er \(T_2 = 600\,\mathrm{K}\).
Hva er det nye volumet \(V_2\)?
Hva skjer med den indre energien til gassen? Må gassen få tilført varme?
a) Antall molekyler og trykket er konstant. Tilstandslikninga \(pV = Nk_\text{B}T\) gir da at \(V/T\) er konstant: \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad\implies\quad V_2 = V_1\cdot\frac{T_2}{T_1} = 30\,\mathrm{dm}^{3}\cdot\frac{600\,\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K}} = \underline{\underline{60\,\mathrm{dm}^{3}}}\]
b) Den absolutte temperaturen dobles, og dermed dobles også den gjennomsnittlige kinetiske energien til molekylene. Den indre energien øker, \(\Delta U > 0\).
Samtidig utvider gassen seg og skyver stempelet ut. Gassen gjør altså arbeid på omgivelsene, og \(W < 0\) i termodynamikkens 1. lov. Da gir \[Q = \Delta U - W\] at \(Q\) er positiv og større enn \(\Delta U\). Gassen må få tilført varme: noe av varmen øker den indre energien, og resten går med til arbeidet på stempelet.
Bildekk om vinteren
Et bildekk blir fylt med luft i en garasje som holder \(20\,^\circ\)C. Det absolutte trykket i dekket er da \(3.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\), og volumet av lufta i dekket er \(0.030\,\mathrm{m}^{3}\). Så kjøres bilen ut i kulda, der det er \(-15\,^\circ\)C. Anta at volumet av dekket ikke endres.
Hvor mange luftmolekyler er det i dekket?
Hva blir det absolutte trykket i dekket når lufta har fått samme temperatur som omgivelsene?
En dekktrykkmåler viser overtrykket, altså forskjellen mellom trykket i dekket og lufttrykket utenfor, \(p_0 = 1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\). Hva viser måleren før og etter? Hvor mange prosent har overtrykket sunket?
Temperaturene i kelvin er \(T_1 = 20 + 273 = 293\,\mathrm{K}\) og \(T_2 = -15 + 273 = 258\,\mathrm{K}\).
a) Vi løser tilstandslikninga for \(N\): \[N = \frac{p_1V}{k_\text{B}T_1} = \frac{3.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\cdot0.030\,\mathrm{m}^{3}}{1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot293\,\mathrm{K}} = \underline{\underline{2.2\cdot 10^{24}}}\]
b) \(N\) og \(V\) er konstante, så \(p/T\) er konstant: \[\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad\implies\quad p_2 = p_1\cdot\frac{T_2}{T_1} = 3.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\cdot\frac{258\,\mathrm{K}}{293\,\mathrm{K}} = 2.64\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} \approx \underline{\underline{2.6\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}}}\]
c) Før: \(p_1 - p_0 = 3.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} - 1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} = \underline{\underline{2.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}}}\).
Etter: \(p_2 - p_0 = 2.64\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} - 1.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 1.64\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} \approx \underline{\underline{1.6\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}}}\).
Overtrykket har sunket med \[\frac{2.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} - 1.64\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}}{2.0\cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}} = 0.18 = \underline{\underline{18\,\%}}\] Det absolutte trykket sank bare med omtrent \(12\,\%\), men måleren viser overtrykket, og det synker mer. Derfor bør man sjekke dekktrykket når det blir kaldt.