8.4 Termodynamikkens 1. lov
Kapittel 8: Termofysikk
Dette kapittelet skrives fortsatt.
Den indre energien \(U\) til et system kan endres på to måter: varme \(Q\) tilføres (eller avgis), og arbeid \(W\) utføres på (eller av) systemet. Termodynamikkens 1. lov er energibevaringsloven uttrykt for termodynamiske systemer:
Endringen i den indre energien \(\Delta U\) er lik summen av tilført varme \(Q\) og arbeid \(W\) utført på systemet: \[\Delta U = Q + W\]
Fortegnskonvensjon:
\(\Delta U > 0\): indre energi øker (systemet lagrer mer energi)
\(Q > 0\): varme strømmer inn i systemet
\(Q < 0\): systemet avgir varme til omgivelsene
\(W > 0\): arbeid utføres på systemet (f.eks. stempelet komprimerer gassen)
\(W < 0\): systemet gjør arbeid på omgivelsene (f.eks. gassen ekspanderer og løfter et stempel)
Figuren viser et typisk termodynamisk system: en gass i en sylinder med bevegelig stempel. Varme \(Q > 0\) kan tilføres fra en varmekilde. Stempelet kan gjøre arbeid \(W > 0\) på gassen ved å komprimere den — eller gassen kan ekspandere og løfte stempelet (\(W < 0\)). Endringen \(\Delta U\) samler opp begge bidragene.
Gass i sylinder. Varme \(Q\) tilføres fra en varmekilde, og stempelet gjør arbeid \(W\) på gassen.
Arbeid gjort av en gass
Hvor stort arbeid gjør en gass når den utvider seg? Se på en gass i en sylinder med et bevegelig stempel med areal \(A\). Gassen har trykket \(p\), så den presser på stempelet med kraften \[F = p\cdot A\] Anta at trykket holdes konstant mens gassen utvider seg og skyver stempelet et lite stykke \(\Delta x\) utover. Kraften og bevegelsen har samme retning, så arbeidet gassen gjør på stempelet, er kraft ganger strekning: \[W_\text{gass} = F\cdot\Delta x = p\cdot A\cdot\Delta x\] Men \(A\cdot\Delta x\) er nettopp økningen i volumet til gassen, \(\Delta V\) (se figuren). Dermed er arbeidet gassen gjør
\(\displaystyle W_\text{gass} = p\,\Delta V\)(når \(p=\)konst).
Gassen skyver stempelet \(\Delta x\) utover med kraften \(F = pA\). Volumet øker med \(\Delta V = A\,\Delta x\) (det fargede området), og gassen gjør arbeidet \(W_\text{gass} = F\,\Delta x = p\,\Delta V\).
Arbeid krever at noe flytter seg. Det er derfor volumendringen \(\Delta V\) som inngår. Øker trykket mens volumet er konstant (en isokor prosess), flytter ikke stempelet seg, og gassen gjør ingen arbeid, selv om trykket endres. \(\Delta p\,V\) er altså ikke et arbeid. Formelen \(W_\text{gass} = p\,\Delta V\) gjelder når trykket er konstant. Endres trykket underveis, må vi regne annerledes. Det ser vi på i delkapittel .
I termodynamikkens 1. lov er \(W\) arbeidet som gjøres på gassen. Når gassen utvider seg (\(\Delta V > 0\)), gjør den arbeid på omgivelsene, og \(W = -p\,\Delta V\) er negativ. Når gassen presses sammen, er \(W\) positiv.
Eksempel 8.10: Gass i sylinder
\(Q = 500\,\mathrm{J}\) tilføres en gass i en sylinder. Den indre energien øker med \(\Delta U = 100\,\mathrm{J}\).
Hvor stort arbeid gjør stempelet på gassen?
Stempelet sitter på toppen av sylinderen, som i figuren, og har masse \(m = 50\,\mathrm{kg}\). Gassen løfter stempelet rett opp. Hvor langt flyttes det? Se bort fra lufttrykket over stempelet og friksjon.
a) Fra 1. lov løser vi for \(W\): \[\Delta U = Q + W \implies W = \Delta U - Q = 100\,\mathrm{J} - 500\,\mathrm{J} = \underline{\underline{-400\,\mathrm{J}}}\] Det negative fortegnet viser at stempelet ikke gjør arbeid på gassen — det er gassen som gjør \(400\,\mathrm{J}\) arbeid på stempelet og løfter det oppover.
b) Gassen gjør \(400\,\mathrm{J}\) arbeid på stempelet. Dette arbeidet brukes til å løfte stempelet mot tyngdekraften (\(W = \Delta E_{\text{pot}} = m\mathrm{g}y\)): \[y = \frac{W}{m\mathrm{g}} = \frac{400\,\mathrm{J}}{50\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}} = \underline{\underline{0.82\,\mathrm{m}}}\] Stempelet flyttes \(82\,\mathrm{cm}\).
Adiabatisk prosess
En adiabatisk prosess er en prosess uten varmeoverføring: \(Q = 0\). Da gir 1. lov: \[\Delta U = W\] I en slik prosess skyldes all endring i indre energi arbeid. Eksempler: en sykkelpumpe (komprimering skjer for raskt til at varme rekker å slippe ut — pumpa blir varm), og dieselmotorer (luften komprimeres adiabatisk inntil temperaturen er høy nok til at drivstoffet antennes av seg selv, uten tennplugg).
Varme eller arbeid?
Avgjør om energien overføres til systemet som varme \(Q\) eller som arbeid \(W\). Systemet står i parentes.
Du gnir hendene hardt mot hverandre (hendene).
En gryte med vann står på en varm kokeplate (vannet).
Lufta i en sykkelpumpe blir presset sammen av stempelet (lufta).
Sola varmer opp en stein på stranda (steinen).
En elektrisk mikser rører i en bolle med kakedeig (deigen).
Varme er energi som overføres bare på grunn av en temperaturforskjell. All annen energioverføring, der noe skyver, drar eller rører, er arbeid.
a) Arbeid. Friksjonskraften virker langs bevegelsen og gjør arbeid på hendene.
b) Varme. Kokeplata er varmere enn gryta og vannet, og energien går fra det varme til det kalde.
c) Arbeid. Stempelet skyver på lufta og presser den sammen.
d) Varme. Sola er mye varmere enn steinen. Energien kommer som stråling, og det regner vi som varme.
e) Arbeid. Mikseren skyver deigen rundt. Deigen blir litt varmere, selv om ingenting varmt er i kontakt med den.
Sykkelpumpe
En sykkelpumpe komprimerer luft raskt, slik at prosessen er tilnærmet adiabatisk. Et arbeid på \(W = 30\,\mathrm{J}\) utføres på lufta.
Hva er endringen i den indre energien til lufta?
Stiger eller synker temperaturen i pumpa? Forklar hvorfor.
a) Prosessen er adiabatisk, så \(Q = 0\). Termodynamikkens 1. lov gir \[\Delta U = Q + W = 0 + 30\,\mathrm{J} = \underline{\underline{+30\,\mathrm{J}}}\]
b) \(\Delta U > 0\), så den indre energien øker. Den indre energien til lufta er knyttet til bevegelsen til molekylene, og dermed til temperaturen. Temperaturen stiger. Stempelet beveger seg mot molekylene og gir dem større fart når de spretter mot det. Du kan kjenne at pumpa blir varm etter bruk.
Gass som komprimeres
Et stempel presser sammen en gass i en sylinder og gjør et arbeid på \(250\,\mathrm{J}\) på gassen. Samtidig avgir gassen \(80\,\mathrm{J}\) varme til omgivelsene. Anta at den indre energien til gassen bare avhenger av temperaturen.
Finn endringen \(\Delta U\) i den indre energien til gassen.
Stiger eller synker temperaturen til gassen?
Hvor mye varme måtte gassen ha avgitt for at temperaturen skulle vært uendret?
Senere tilføres gassen \(600\,\mathrm{J}\) varme. Gassen utvider seg og løfter stempelet, som har masse \(25\,\mathrm{kg}\), rett opp. Den indre energien øker med \(450\,\mathrm{J}\). Hvor høyt løftes stempelet? Se bort fra lufttrykket over stempelet og friksjon.
a) Arbeidet utføres på gassen, så \(W = +250\,\mathrm{J}\). Gassen avgir varme, så \(Q = -80\,\mathrm{J}\). Termodynamikkens 1. lov gir \[\Delta U = Q + W = -80\,\mathrm{J} + 250\,\mathrm{J} = \underline{\underline{+170\,\mathrm{J}}}\]
b) Den indre energien øker. Siden den indre energien bare avhenger av temperaturen, stiger temperaturen.
c) Temperaturen er uendret når \(\Delta U = 0\): \[0 = Q + W \quad\implies\quad Q = -W = \underline{\underline{-250\,\mathrm{J}}}\] Gassen måtte altså ha avgitt \(250\,\mathrm{J}\) varme, like mye som arbeidet stempelet gjør på den.
d) Nå er \(Q = +600\,\mathrm{J}\) og \(\Delta U = +450\,\mathrm{J}\). Termodynamikkens 1. lov gir \[W = \Delta U - Q = 450\,\mathrm{J} - 600\,\mathrm{J} = -150\,\mathrm{J}\] Det negative fortegnet betyr at gassen gjør \(150\,\mathrm{J}\) arbeid på stempelet. Arbeidet går til å løfte stempelet mot tyngdekraften, \(W_\text{gass} = m\mathrm{g}h\): \[h = \frac{W_\text{gass}}{m\mathrm{g}} = \frac{150\,\mathrm{J}}{25\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}} = 0.612\,\mathrm{m} \approx \underline{\underline{0.61\,\mathrm{m}}}\]