8.3 Kalorimetri
Kapittel 8: Termofysikk
Dette kapittelet skrives fortsatt.
Kalorimetri er den kvantitative beskrivelsen av varme — vi beregner nøyaktig hvor mye energi som trengs for å varme opp et stoff eller gjennomføre en faseovergang.
Temperaturendring innen en fase
Varmen som trengs for å endre temperaturen til et legeme med masse \(m\) med \(\Delta T\): \[Q = c \cdot m \cdot \Delta T\] der \(c\) er den spesifikke varmekapasiteten med enhet \(\mathrm{kJ}\,\mathrm{(}^{-1}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{K}\,\mathrm{)}\).
Merk: \(\Delta T\) er den samme i Celsius og Kelvin: \(\Delta T[\mathrm{K}] = \Delta T[{}^{\circ}\mathrm{C}]\).
| Stoff | \(c\) / \(\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\) |
|---|---|
| Bly | 0.13 |
| Sølv | 0.24 |
| Kobber | 0.39 |
| Jern | 0.45 |
| Glass | 0.84 |
| Aluminium | 0.90 |
| Luft | 1.0 |
| Vanndamp | 2.0 |
| Is | 2.1 |
| Menneskekropp | 3.5 |
| Vann | 4.2 |
For sammensatte systemer (f.eks. termos + vann) bruker vi den totale varmekapasiteten \(C\) (uten masse):
\[Q = C \cdot \Delta T \qquad [C] = \mathrm{J/K}\] \(C\) er summen av \(c_i m_i\) for alle deler av systemet.
Faseovergang
Varmen som tilføres eller avgis når en masse \(m\) av et stoff skifter fase ved konstant temperatur: \[Q = \ell \cdot m\] der \(\ell\) er den spesifikke fasevarmen med enhet \(\mathrm{kJ/kg}\).
Når et stoff størkner, avgis like mye varme som det trengs for å smelte det. Den spesifikke smeltevarmen er derfor også den spesifikke størkningsvarmen. På samme måte er den spesifikke fordampingsvarmen lik den spesifikke kondensasjonsvarmen. Tabellene viser verdier for noen vanlige stoffer ved normalt lufttrykk.
Smelting og størkning
| Stoff | \(t_\text{smelte}\) / \({}^{\circ}\mathrm{C}\) | \(\ell_\text{smelte}\) / \(\mathrm{kJ/kg}\) |
|---|---|---|
| Oksygen | \(-219\) | 13.9 |
| Nitrogen | \(-210\) | 25.7 |
| Etanol | \(-114\) | 108 |
| Kvikksølv | \(-39\) | 11.4 |
| Vann (is) | 0 | 334 |
| Bly | 327 | 23 |
| Aluminium | 660 | 397 |
| Sølv | 962 | 105 |
| Gull | 1064 | 64 |
| Kobber | 1085 | 207 |
| Jern | 1538 | 247 |
Fordamping og kondensasjon
| Stoff | \(t_\text{koke}\) / \({}^{\circ}\mathrm{C}\) | \(\ell_\text{fordamp}\) / \(\mathrm{kJ/kg}\) |
|---|---|---|
| Helium | \(-269\) | 20.9 |
| Nitrogen | \(-196\) | 199 |
| Oksygen | \(-183\) | 213 |
| Etanol | 78 | 855 |
| Vann | 100 | 2 259 |
| Kvikksølv | 357 | 295 |
| Bly | 1749 | 860 |
| Sølv | 2162 | 2 360 |
| Aluminium | 2519 | 10 500 |
| Kobber | 2562 | 4 730 |
Eksempel 8.6: Fordampe vann
Hvor mye energi kreves for å fordampe \(2.0\,\mathrm{L}\) vann fra \(100\,^\circ\)C (væske) til \(100\,^\circ\)C (damp)?
Massen: \(m = \rho V = 1.0\,\mathrm{kg/L}\cdot2.0\,\mathrm{L} = 2.0\,\mathrm{kg}\).
Siden temperaturen er konstant (faseovergang): \[Q = \ell_{\text{fordamp}} \cdot m = 2259\,\mathrm{kJ/kg} \cdot 2.0\,\mathrm{kg} = 4518\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{4.5\,\mathrm{MJ}}}\] Til sammenlikning: denne energien tilsvarer å løfte de \(2.0\,\mathrm{kg}\) til en høyde \(h = Q/(m\mathrm{g}) = 4.518\!\cdot\!10^6/(2.0\cdot 9.81) \approx 2.3\cdot 10^{5}\,\mathrm{m}\) — over 200 km opp i luften!
Eksempel 8.7: Avkjøling av glass
Et legeme av glass med masse \(m = 10\,\mathrm{kg}\) avkjøles fra \(35\,^\circ\)C til \(-15\,^\circ\)C. Hvor mye energi avgir glasset som varme?
\(c_{\text{glass}} = 0.84\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\), \(\Delta T = -15 - 35 = -50\,\mathrm{K}\). \[Q = c \cdot m \cdot \Delta T = 0.84\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)} \cdot 10\,\mathrm{kg} \cdot (-50\,\mathrm{K}) = -420\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{-4.2\cdot 10^{2}\,\mathrm{kJ}}}\] Det negative fortegnet bekrefter at glasset avgir omtrent \(4.2\cdot 10^{2}\,\mathrm{kJ}\) til omgivelsene.
Eksempel 8.8: Varmekapasitet til en termosflaske
Det trengs \(180\,\mathrm{J}\) for å øke temperaturen i en termosflaske med \(\Delta T = 5.0\,\mathrm{K}\). Hva er varmekapasiteten til flaska?
\[Q = C\cdot\Delta T \implies C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{180\,\mathrm{J}}{5.0\,\mathrm{K}} = \underline{\underline{36\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}}}\]
Eksempel 8.9: Kalorimeter — spesifikk varmekapasitet
En ukjent væske med masse \(m_v = 200\,\mathrm{g}\) legges i en termosflaske med varmekapasitet \(C_{\text{termos}} = 50\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\). Tilsammen \(7.00\,\mathrm{kJ}\) tilføres, og temperaturen stiger fra \(15.2\,^\circ\)C til \(28.0\,^\circ\)C. Finn den spesifikke varmekapasiteten \(c_v\) til væska.
Temperaturendring: \(\Delta T = 28.0 - 15.2 = 12.8\,\mathrm{K}\).
All tilført energi \(E\) fordeles mellom væsken og termosen: \[E = Q_v + Q_{\text{termos}} = c_v m_v \Delta T + C_{\text{termos}} \Delta T\] \[\implies c_v = \frac{E - C_{\text{termos}}\,\Delta T}{m_v\,\Delta T} = \frac{7000\,\mathrm{J} - 50\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot12.8\,\mathrm{K}} {0.200\,\mathrm{kg}\cdot12.8\,\mathrm{K}} = \frac{7000 - 640}{2.56} \approx \underline{\underline{2.5\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{(}^{-1}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{K}\,\mathrm{)}}}\]
Cola og is
En boks cola (\(m_\text{c} = 350\,\mathrm{g}\)) har romtemperatur, \(t_\text{c} = 20\,^\circ\)C. Du legger i \(m_\text{is} = 20\,\mathrm{g}\) is med temperatur \(t_\text{is} = -5.0\,^\circ\)C. Anta at cola oppfører seg termisk som vann, og at det ikke utveksles varme med omgivelsene.
Beregn energien som trengs for å varme opp isen til \(0\,^\circ\)C og smelte den.
Finn slutt-temperaturen \(t_\text{f}\) i blandingen.
(Spesifikk varmekapasitet: \(c_\text{vann} = c_\text{cola} = 4.2\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\), \(c_\text{is} = 2.1\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\). Spesifikk smeltevarme: \(\ell_\text{smelte} = 334\,\mathrm{kJ/kg}\).)
a) Først varmer vi isen fra \(-5.0\,^\circ\)C til \(0\,^\circ\)C, altså \(\Delta T = 5.0\,\mathrm{K}\): \[Q_1 = c_\text{is}\, m_\text{is}\,\Delta T = 2.1\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\cdot0.020\,\mathrm{kg}\cdot5.0\,\mathrm{K} = 0.21\,\mathrm{kJ}\] Så smelter vi isen ved \(0\,^\circ\)C: \[Q_2 = \ell_\text{smelte}\, m_\text{is} = 334\,\mathrm{kJ/kg}\cdot0.020\,\mathrm{kg} = 6.68\,\mathrm{kJ}\] Totalt: \[Q_1 + Q_2 = 0.21\,\mathrm{kJ} + 6.68\,\mathrm{kJ} = 6.89\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{6.9\,\mathrm{kJ}}}\] Vi sjekker at all isen smelter. Colaen kan avgi høyst \(4.2\cdot 0.350\cdot 20\,\mathrm{kJ} = 29.4\,\mathrm{kJ}\) før den når \(0\,^\circ\)C. Det er mye mer enn \(6.89\,\mathrm{kJ}\), så all isen smelter, og \(t_\text{f} > 0\,^\circ\)C.
b) Varmen colaen avgir, er lik varmen isen (og smeltevannet) tar opp. Smeltevannet varmes fra \(0\,^\circ\)C til \(t_\text{f}\): \[c_\text{cola}\, m_\text{c}\,(20 - t_\text{f}) = Q_1 + Q_2 + c_\text{vann}\, m_\text{is}\,(t_\text{f} - 0)\] Med tallene inn (energi i kJ, temperatur i \(^\circ\)C): \[4.2\cdot 0.350\cdot(20 - t_\text{f}) = 6.89 + 4.2\cdot 0.020\cdot t_\text{f}\] \[29.4 - 1.47\,t_\text{f} = 6.89 + 0.084\,t_\text{f} \quad\implies\quad t_\text{f} = \frac{29.4 - 6.89}{1.47 + 0.084} = 14.5\,{}^{\circ}\mathrm{C} \approx \underline{\underline{14\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}\]
Vannkoker
En vannkoker har effekten \(P = 2.0\,\mathrm{kW}\). Du fyller den med \(1.5\,\mathrm{L}\) vann med temperatur \(12\,^\circ\)C. Anta at all energien fra vannkokeren går til vannet.
Hvor mye energi trengs for å varme opp vannet til \(100\,^\circ\)C?
Hvor lang tid tar det før vannet koker?
Vannkokeren slår seg ikke av, og koker bort \(0.20\,\mathrm{kg}\) vann før du slår den av. Hvor lenge sto den på etter at vannet begynte å koke?
a) \(1.5\,\mathrm{L}\) vann har massen \(m = 1.5\,\mathrm{kg}\). Temperaturendringen er \(\Delta T = 100 - 12 = 88\,\mathrm{K}\): \[Q = c\, m\,\Delta T = 4.2\,\mathrm{kJ/(kg}\,\mathrm{,K)}\cdot1.5\,\mathrm{kg}\cdot88\,\mathrm{K} = 554\,\mathrm{kJ} \approx \underline{\underline{5.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{kJ}}}\]
b) Effekt er energi per tid, \(P = E/t\): \[t = \frac{Q}{P} = \frac{554\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}}{2.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}} = 277\,\mathrm{s} \approx \underline{\underline{2.8\cdot 10^{2}\,\mathrm{s}}}\] Det er omtrent \(4.6\,\mathrm{min}\).
c) Energien som trengs for å fordampe \(0.20\,\mathrm{kg}\) vann, er \[Q = \ell_\text{fordamp}\, m = 2259\,\mathrm{kJ/kg}\cdot0.20\,\mathrm{kg} = 452\,\mathrm{kJ}\] \[t = \frac{Q}{P} = \frac{452\cdot 10^{3}\,\mathrm{J}}{2.0\cdot 10^{3}\,\mathrm{W}} = 226\,\mathrm{s} \approx \underline{\underline{2.3\cdot 10^{2}\,\mathrm{s}}}\] Det er nesten fire minutter, selv om bare en liten del av vannet koker bort.