8.1 Indre energi, varme og temperatur
Kapittel 8: Termofysikk
Dette kapittelet skrives fortsatt.
Alt stoff er bygget opp av atomer og molekyler i stadig bevegelse. Den samlede energien knyttet til disse mikroskopiske bevegelsene og bindingene mellom stoffets mikroskopiske bestanddeler kalles indre energi \(U\). Bestanddelene er her molekyler eller ioner, altså atomer.
Den indre energien deles i to: kinetisk indre energi (bestanddelenes bevegelsesenergi) og potensiell indre energi (energi lagret i bindingene mellom bestanddelene).
Den kinetiske delen har tre bidrag:
Translasjon: molekylene beveger seg fra sted til sted.
Vibrasjon: atomene i molekylet svinger fram og tilbake.
Rotasjon: molekylet snurrer rundt seg selv.
På makroskopisk nivå så erfarer vi disse bidragene som temperatur. Jo høyere temperatur, desto mer bevegelse er det i molekylene.
Den potensielle delen er energi lagret i bindingene mellom molekylene (den endres for eksempel når is smelter) og i de kjemiske bindingene inne i molekylene. Figuren viser en oversikt.
Den indre energien \(U\) består av kinetisk og potensiell energi til molekylene. Temperaturen \(T\) er knyttet til den kinetiske energien molekylene har på grunn av translasjon.
Temperatur som mål på bevegelse
Vi har sagt at temperaturen henger sammen med hvor mye molekylene beveger seg. Denne sammenhengen kan gjøres helt presis. Se for deg en gass av molekyler. Molekylene farer rundt i alle retninger og kolliderer med hverandre og med veggene. Hvert molekyl har sin bevegelse (translasjon, vibrasjon og rotasjon) og denne bevegelsen endres ved kollisjon med andre molekyler, ellr med veggen i gassbeholderen. Faktisk kan vi regne ut gjennomsnittet av den kinetiske energien molekylene i gassen har. Det vi kaller absolutt temperatur, er et mål på dette gjennomsnittet.
Om du lurer på hvorfor jeg skrev absolutt temperatur, så er det fordi vi benytter en litt spesiell temperaturskala. Jo mindre molekylene beveger seg, desto lavere er temperaturen. Det må derfor finnes en lavest mulig temperatur, der molekylene ikke kan miste mer bevegelsesenergi. Den kalles det absolutte nullpunktet. Måler vi temperaturen fra dette nullpunktet, får vi den absolutte temperaturen \(T\). Enheten er kelvin (\(\mathrm{K}\)), og det er SI-enheten for temperatur. Den absolutte temperaturen er et direkte mål på bevegelsen: dobler vi \(T\), dobler vi også den gjennomsnittlige kinetiske energien til molekylene.
Sammenhengen mellom temperatur og energien til ett molekyl i gassen kan utledes presist i kinetisk gassteori, som kobler makroskopiske størrelser som trykk og temperatur til bevegelser på mikronivå. Det viser seg at resultatet avhenger av bestanddelene i gassen; molekylene. Her holder vi oss til én-atomige gasser.
Den gjennomsnittlige kinetiske energien til hvert molekyl i en én-atomig gass kan er til god tilnærming gitt ved \[\bar{E}_\text{K} = \frac{3}{2}\,k_\text{B} T,\] hvor \(k_\text{B} = 1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\) er Boltzmanns konstant, og \(T\) er den absolutte temperaturen i kelvin.
Temperatur er ikke en egenskap ved ett enkelt molekyl — det er et statistisk gjennomsnitt over svært mange molekyler. Dobler du den absolutte temperaturen (\(T_2 = 2T_1\)), dobles også den gjennomsnittlige kinetiske energien.
Eksempel 8.1: Gjennomsnittlig energi til et heliumatom
Heliumgass holdes ved romtemperatur \(T = 293\,\mathrm{K}\). Finn den gjennomsnittlige translasjonsenergien til ett He-atom.
\[\bar{E}_\text{K} = \frac{3}{2}\,k_\text{B} T = \frac{3}{2} \cdot 1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1} \cdot 293\,\mathrm{K} = \underline{\underline{6.07\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}}\] Selv om dette er svært lite, beveger et heliumatom seg ved romtemperatur med en gjennomsnittlig hastighet på rundt \(1350\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\) — raskere enn lyden!
I hverdagen bruker vi celsius-skalaen. Der fryser vann ved \(0\,^\circ\)C og koker ved \(100\,^\circ\)C (ved vanlig lufttrykk). En grad celsius er like stor som én kelvin, men nullpunktet er flyttet: det absolutte nullpunktet ligger ved \(-273.15\,^\circ\)C. Vi bruker \(t\) for temperaturen i celsius og \(T\) for den absolutte temperaturen. Da er
\(\displaystyle T = t + 273.15 \approx t + 273\)
der \(T\) er i kelvin og \(t\) er i grader celsius. Romtemperatur, \(20\,^\circ\)C, er altså omtrent \(293\,\mathrm{K}\).
Siden gradene er like store, er en temperaturendring like stor på begge skalaene: \(\Delta T = \Delta t\). Men i formler der selve temperaturen inngår, som \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{3}{2}k_\text{B}T\), må vi bruke den absolutte temperaturen i kelvin. I USA brukes fahrenheit-skalaen. Sammenhengen med celsius er \(t_\text{F} = \tfrac{9}{5}\,t + 32\).
Eksempel 8.2: Dobbelt så stor energi
En gass har temperaturen \(27\,^\circ\)C. Vi varmer opp gassen helt til den gjennomsnittlige kinetiske energien til molekylene er dobbelt så stor. Hva er temperaturen da, i kelvin og i celsius?
Den gjennomsnittlige kinetiske energien er proporsjonal med den absolutte temperaturen, \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{3}{2}k_\text{B}T\). Dobbelt så stor energi betyr dobbelt så høy temperatur i kelvin. Starttemperaturen er \(T_1 = 27 + 273 = 300\,\mathrm{K}\), så \[T_2 = 2\,T_1 = 2\cdot300\,\mathrm{K} = \underline{\underline{600\,\mathrm{K}}} = \underline{\underline{327\,^\circ\text{C}}}\] Legg merke til at temperaturen i celsius blir mer enn tolv ganger så høy. Det viser hvorfor vi må regne i kelvin.
Eksempel 8.3: Farten til oksygenmolekyler
Lufta i et klasserom holder romtemperatur, \(20\,^\circ\)C. Omtrent hvor fort beveger oksygenmolekylene i lufta seg? Et oksygenmolekyl (\(\text{O}_2\)) har massen \(m = 5.31\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\).
Oksygenmolekylet består av to atomer, men formelen \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{3}{2}k_\text{B}T\) gir også for slike molekyler den gjennomsnittlige kinetiske energien knyttet til translasjon. Det er nettopp den som bestemmer hvor fort molekylene farer rundt.
Først gjør vi om temperaturen til kelvin: \(T = 20 + 273 = 293\,\mathrm{K}\). Den gjennomsnittlige kinetiske energien er \[\bar{E}_\text{K} = \frac{3}{2}\,k_\text{B}T = \frac{3}{2}\cdot1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot293\,\mathrm{K} = 6.07\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}\] Kinetisk energi er \(E_\text{K} = \tfrac{1}{2}mv^2\). Vi setter \(\tfrac{1}{2}mv^2 = \bar{E}_\text{K}\) og løser for \(v\): \[v = \sqrt{\frac{2\bar{E}_\text{K}}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot6.07\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}{5.31\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}}} = \underline{\underline{478\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] Det er omtrent \(1700\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\), raskere enn lyden i luft (omtrent \(340\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\))! Molekylene kommer likevel ikke langt av gangen, fordi de hele tiden kolliderer med andre molekyler.
Merk: Molekylene har ulik fart, og farten vi har regnet ut, er en typisk fart for molekylene. (Den kalles rms-farten og er kvadratroten av gjennomsnittet av \(v^2\). Den vanlige gjennomsnittsfarten er litt mindre, omtrent \(440\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).) Vi snakker om fart, ikke hastighet: molekylene beveger seg i alle retninger, så i gjennomsnitt er hastigheten, som har retning, lik null.
Omregning av temperaturer
Gjør om temperaturene.
Normal kroppstemperatur, \(37\,^\circ\)C, til kelvin.
Kokepunktet til flytende nitrogen, \(77\,\mathrm{K}\), til celsius.
Temperaturen på overflaten av sola, \(5.8\cdot 10^{3}\,\mathrm{K}\), til celsius.
En amerikansk værmelding lover \(50\,^\circ\)F. Hva er det i celsius?
Vi bruker \(T = t + 273\) og \(t_\text{F} = \tfrac{9}{5}\,t_\text{C} + 32\).
a) \(T = 37 + 273 = \underline{\underline{310\,\mathrm{K}}}\)
b) \(t = 77 - 273 = \underline{\underline{-196\,^\circ\text{C}}}\)
c) \(t = 5800 - 273 = 5527\,^\circ\text{C} \approx \underline{\underline{5.5\cdot 10^3\,^\circ\text{C}}}\). Når temperaturen er så høy, spiller det liten rolle om vi bruker kelvin eller celsius.
d) Vi løser formelen for \(t_\text{C}\): \[t_\text{C} = \frac{5}{9}\,(t_\text{F} - 32) = \frac{5}{9}\,(50 - 32) = \underline{\underline{10\,^\circ\text{C}}}\]
Dobbelt så varmt?
En dag stiger temperaturen fra \(10\,^\circ\)C til \(20\,^\circ\)C. Har den gjennomsnittlige kinetiske energien til luftmolekylene blitt dobbelt så stor? (Hint: Den gjennomsnittlige kinetiske energien er proporsjonal med temperaturen målt i kelvin.)
En morgen er det \(-5\,^\circ\)C, og om ettermiddagen er det \(15\,^\circ\)C. Hvor stor er temperaturendringen \(\Delta T\) i kelvin?
Ved hvilken temperatur viser en celsius-skala og en fahrenheit-skala det samme tallet?
a) Vi må regne i kelvin: \(T_1 = 10 + 273 = 283\,\mathrm{K}\) og \(T_2 = 20 + 273 = 293\,\mathrm{K}\). Den gjennomsnittlige kinetiske energien er proporsjonal med \(T\), så \[\frac{\bar{E}_{\text{K},2}}{\bar{E}_{\text{K},1}} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{293\,\mathrm{K}}{283\,\mathrm{K}} = 1.035\] Energien har bare økt med omtrent \(3.5\,\%\). Den er ikke doblet. Det er bare i kelvin det gir mening å si «dobbelt så høy temperatur».
b) En grad celsius er like stor som én kelvin, så \[\Delta T = 15 - (-5) = \underline{\underline{20\,\mathrm{K}}}\]
c) Vi setter \(t_\text{F} = t_\text{C} = t\): \[t = \frac{9}{5}\,t + 32 \quad\implies\quad -\frac{4}{5}\,t = 32 \quad\implies\quad t = \underline{\underline{-40}}\] Altså er \(-40\,^\circ\)C det samme som \(-40\,^\circ\)F.
Oksygenmolekyler
Finn den gjennomsnittlige kinetiske energien til et oksygenmolekyl ved \(0\,^\circ\)C.
Finn den gjennomsnittlige kinetiske energien ved \(100\,^\circ\)C.
Hvor mange prosent større er energien ved \(100\,^\circ\)C enn ved \(0\,^\circ\)C?
Vi bruker \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{3}{2}k_\text{B}T\) med temperaturen i kelvin.
a) \(T = 0 + 273 = 273\,\mathrm{K}\): \[\bar{E}_\text{K} = \frac{3}{2}\cdot1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot273\,\mathrm{K} = \underline{\underline{5.65\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}}\]
b) \(T = 100 + 273 = 373\,\mathrm{K}\): \[\bar{E}_\text{K} = \frac{3}{2}\cdot1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot373\,\mathrm{K} = \underline{\underline{7.72\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}}\]
c) \[\frac{7.72\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}{5.65\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}} = \frac{373}{273} = 1.37\] Energien er \(37\,\%\) større. Legg merke til at svaret ikke avhenger av hva slags gass det er.
Helium og oksygen
En beholder inneholder en blanding av heliumgass og oksygengass med temperatur \(300\,\mathrm{K}\). Massen til et heliumatom er \(6.64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\), og massen til et oksygenmolekyl er \(5.31\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\).
Hvilken av de to har størst gjennomsnittlig kinetisk energi?
Bruk \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{1}{2}mv^2\) til å finne en typisk fart for heliumatomene og for oksygenmolekylene.
Hvor mange ganger raskere beveger heliumatomene seg?
a) Den gjennomsnittlige kinetiske energien avhenger bare av temperaturen, \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{3}{2}k_\text{B}T\). Begge gassene har samme temperatur, og har derfor like stor gjennomsnittlig kinetisk energi: \[\bar{E}_\text{K} = \frac{3}{2}\cdot1.38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot300\,\mathrm{K} = 6.21\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}\]
b) Vi løser \(\bar{E}_\text{K} = \tfrac{1}{2}mv^2\) for \(v\): \[v = \sqrt{\frac{2\bar{E}_\text{K}}{m}}\] For helium: \[v_\text{He} = \sqrt{\frac{2\cdot6.21\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}{6.64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}}} = \underline{\underline{1.37\cdot 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\] For oksygen: \[v_{\text{O}_2} = \sqrt{\frac{2\cdot6.21\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}}{5.31\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}}} = \underline{\underline{484\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]
c) \[\frac{v_\text{He}}{v_{\text{O}_2}} = \frac{1.37\cdot 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{484\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}} = \underline{\underline{2.83}}\] Heliumatomene er lettere, og må derfor bevege seg raskere for å ha like stor kinetisk energi.
Varme
Den indre energien kan endres på to måter: ved å tilføre varme, eller ved å utføre arbeid på systemet. Bremseklosser varmes opp av friksjon (arbeid), og en kopp te avkjøles ved å avgi varme til omgivelsene.
Varme \(Q\) er overføring av indre energi fra ett system til et annet, som følge av temperaturforskjell \(\Delta T\).
Temperatur og varme henger sammen, men de er ikke den samme størrelsen. Som vi nettopp har sett, er temperatur et mål på den gjennomsnittlige kinetiske energien til molekylene. Varme er derimot energi som overføres mellom to systemer fordi de har ulik temperatur. Et system har en temperatur, men det «har» ikke varme.
Eksempel 8.4: Liten og stor kjele
En liten kjele med \(1.0\,\mathrm{L}\) vann og en stor kjele med \(5.0\,\mathrm{L}\) vann har begge temperaturen \(60\,^\circ\)C. Kjelene settes på kjøkkenbenken, der det er \(20\,^\circ\)C.
Hvilken av kjelene har høyest temperatur? Hvilken har mest indre energi?
Hvilken av kjelene avgir mest varme til omgivelsene før den har kjølt seg ned til romtemperatur?
Vi blander vannet fra de to kjelene sammen. Hva blir temperaturen?
Hva forventer du at temperaturen ville blitt dersom vi hadde blandet \(1.0\,\mathrm{L}\) vann ved \(60\,^\circ\)C med \(1.0\,\mathrm{L}\) vann ved \(20\,^\circ\)C?
a) Kjelene har samme temperatur. Atomene i de to kjelene har altså i gjennomsnitt like mye kinetisk energi. Men det er fem ganger så mange molekyler i den store kjelen, så den har mest indre energi.
b) Begge kjelene kjøles ned like mange grader, men i den store kjelen er det fem ganger så mye vann som skal kjøles ned. Den store kjelen avgir derfor fem ganger så mye varme som den lille.
c) Vannet har samme temperatur før vi blander det sammen, og da går det ingen varme mellom det. Temperaturen forblir \(60\,^\circ\)C. Temperatur er ikke noe vi «legger sammen». Det er den indre energien som legges sammen.
d) Dersom vi hadde blandet \(1.0\,\mathrm{L}\) vann ved \(60\,^\circ\)C med \(1.0\,\mathrm{L}\) vann ved \(20\,^\circ\)C, ville temperaturen jevnet seg ut og blitt gjennomsnittet av disse; altså \(40\,^\circ\)C.
Riktig eller galt?
Er påstandene riktige eller gale? Begrunn svaret.
En kopp varm kaffe inneholder mye varme.
Varme går alltid fra legemet med mest indre energi til legemet med minst indre energi.
To legemer som har samme temperatur, utveksler ikke varme med hverandre.
Temperaturen til et stoff kan øke uten at vi tilfører varme.
a) Galt. Varme er energi på vei mellom to systemer. Kaffen har mye indre energi, men den «inneholder» ikke varme. Den kan derimot avgi varme til en kaldere omgivelse.
b) Galt. Varme går alltid fra høy temperatur til lav temperatur. Et badekar med lunkent vann har mye mer indre energi enn en kopp kokende vann, men varmen går likevel fra koppen til badevannet hvis vi setter koppen i karet.
c) Riktig. Varme strømmer bare når det er en temperaturforskjell. To legemer med samme temperatur er i termisk likevekt.
d) Riktig. Vi kan også øke den indre energien ved å gjøre arbeid på stoffet, for eksempel med friksjon eller ved å presse sammen en gass, som i en sykkelpumpe.