Ekstraoppgaver
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
Her er flere oppgaver om temaene foran.
Bilde på vegg
Et bilde med masse \(m = 1.5\,\mathrm{kg}\) henger i en snor over en spiker. De to delene av snora danner like store vinkler \(\alpha\) med horisontalen.
Finn snorkraften når \(\alpha = 15^\circ\).
Finn snorkraften når \(\alpha = 45^\circ\).
Hvorfor er det lurt å ikke stramme snora for mye når man henger opp et tungt bilde?
Dette er samme situasjon som eksempelet Trafikklys. De horisontale komponentene opphever hverandre, og de vertikale komponentene må til sammen bære tyngden: \[2S\sin\alpha = m\mathrm{g} \quad\implies\quad S = \frac{m\mathrm{g}}{2\sin\alpha}\]
a) \[S = \frac{1.5\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2\sin 15^\circ} = \underline{\underline{28\,\mathrm{N}}}\]
b) \[S = \frac{1.5\,\mathrm{kg}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2\sin 45^\circ} = \underline{\underline{10\,\mathrm{N}}}\]
c) En stram snor gir en liten vinkel \(\alpha\), og da blir \(\sin\alpha\) liten og snorkraften stor. Med \(\alpha = 15^\circ\) er snorkraften nesten dobbelt så stor som tyngden til bildet. En for stram snor kan derfor ryke, eller rive spikeren ut av veggen.
Vippehuske
En vippehuske er \(4.0\,\mathrm{m}\) lang og har støttepunktet på midten. Se bort fra massen til selve vippa. Et barn med masse \(25\,\mathrm{kg}\) sitter helt ytterst på den ene siden.
Hvor langt fra støttepunktet må en voksen med masse \(80\,\mathrm{kg}\) sitte for at vippa skal balansere?
Hvor stor kraft virker det fra støttepunktet på vippa når den balanserer?
a) Vi tar momenter om støttepunktet. Barnet sitter \(2.0\,\mathrm{m}\) fra støttepunktet. For at vippa skal balansere, må momentene på hver side være like store: \[m_\text{barn}\mathrm{g}\cdot d_\text{barn} = m_\text{voksen}\mathrm{g}\cdot d_\text{voksen} \quad\implies\quad d_\text{voksen} = \frac{25\,\mathrm{kg}\cdot2.0\,\mathrm{m}}{80\,\mathrm{kg}} = \underline{\underline{0.63\,\mathrm{m}}}\]
b) Kraftlikevekt vertikalt: kraften fra støttepunktet må bære begge personene: \[N = (25\,\mathrm{kg} + 80\,\mathrm{kg})\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 1.03\,\mathrm{kN} \approx \underline{\underline{1.0\,\mathrm{kN}}}\]
To personer bærer en planke
To personer bærer en ensartet planke som er \(3.0\,\mathrm{m}\) lang og har masse \(30\,\mathrm{kg}\). Person A holder i den venstre enden, og person B holder \(0.50\,\mathrm{m}\) fra den høyre enden. En kasse med masse \(20\,\mathrm{kg}\) står på planken, \(1.0\,\mathrm{m}\) fra den venstre enden.
Finn hvor stor kraft hver av personene må løfte med. (Hint: velg dreiepunkt der person A holder.)
Vi måler avstander fra den venstre enden, der person A holder. Tyngdekraften på planken angriper midt på, \(1.5\,\mathrm{m}\) fra A. Kassen står \(1.0\,\mathrm{m}\) fra A, og person B holder \(3.0\,\mathrm{m} - 0.50\,\mathrm{m} = 2.5\,\mathrm{m}\) fra A.
Momentlikning om A (positiv dreieretning mot klokken): \[F_B\cdot2.5\,\mathrm{m} - 30\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{g}\cdot1.5\,\mathrm{m} - 20\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{g}\cdot1.0\,\mathrm{m} = 0\] \[F_B = \frac{(45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m} + 20\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m})\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}}{2.5\,\mathrm{m}} = 255\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{2.6\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
Kraftlikevekt vertikalt: \[F_A = (30\,\mathrm{kg} + 20\,\mathrm{kg})\cdot\mathrm{g} - F_B = 490.5\,\mathrm{N} - 255\,\mathrm{N} = 235\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{2.4\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Person B bærer litt mer enn A. B holder nærmere midten av planken enn A, men kassen står nærmest A, så forskjellen blir liten.
Massesenteret til jorda og månen
Jorda har masse \(5.97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\) og radius \(6.37\cdot 10^{6}\,\mathrm{m}\). Månen har masse \(7.35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\), og avstanden mellom sentrene til jorda og månen er \(3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}\).
Finn massesenteret til jord–måne-systemet, målt fra jordas sentrum.
Ligger massesenteret inne i jorda eller utenfor?
a) Vi legger \(x = 0\) i sentrum av jorda og \(x = d = 3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}\) i sentrum av månen: \[x_\text{ms} = \frac{m_J\cdot 0 + m_M\cdot d}{m_J + m_M} = \frac{7.35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\cdot3.84\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}}{5.97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg} + 7.35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}} = \underline{\underline{4.67\cdot 10^{6}\,\mathrm{m}}}\]
b) Jordas radius er \(6.37\cdot 10^{6}\,\mathrm{m}\), så massesenteret ligger inne i jorda, omtrent \(1700\,\mathrm{km}\) under overflaten. Det er rundt dette punktet både jorda og månen går i bane.
Mutter som sitter fast
En mutter sitter fast, og det trengs et kraftmoment på \(50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\) for å løsne den. Du har en skiftenøkkel som er \(30\,\mathrm{cm}\) lang.
Hvor stor kraft må du minst bruke, og i hvilken retning bør du dra?
Hvor stor kraft trengs dersom kraften danner en vinkel på \(60^\circ\) med skaftet på nøkkelen?
Du setter et rør over skaftet slik at armen blir \(60\,\mathrm{cm}\) lang. Hvor stor kraft trengs nå, når du drar vinkelrett?
Vi bruker \(\tau = r\cdot F\cdot\sin\theta\), der \(\theta\) er vinkelen mellom skaftet og kraften.
a) Kraften blir minst når \(\sin\theta\) er størst, altså når du drar vinkelrett på skaftet (\(\theta = 90^\circ\)): \[F = \frac{\tau}{r} = \frac{50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{0.30\,\mathrm{m}} = 167\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.7\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
b) \[F = \frac{\tau}{r\sin 60^\circ} = \frac{50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{0.30\,\mathrm{m}\cdot 0.866} = 192\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.9\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\]
c) \[F = \frac{\tau}{r} = \frac{50\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{0.60\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{83\,\mathrm{N}}}\] Dobbelt så lang arm gir halvparten så stor kraft.