Sirkelbevegelse og krefter
Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.
For sirkelbevegelse med konstant fart har vi sett at akselerasjonens størrelse er gitt ved \[a=\frac{v^2}{r},\] hvor \(r\) er sirkelens radius. Om vi nå samstiller dette med Newtons 2. lov, \(\sum\vec{F}=m\vec{a}\) så finner vi et uttrykk for kraftsummen inn mot sentrum.
Kraftsummen for sirkelbevegelse med radius \(r\) og konstant banefart \(v\) er gitt ved \[\sum F=m\cdot \frac{v^2}{r},\] og rettet inn mot sentrum av sirkelbevegelsen.
Som et første eksempel ser vi på en sleggekaster som svinger slegga rundt seg. Slegga er en metallkule festet til en wire, og sleggekasteren holder i håndtaket i den andre enden. Sett ovenfra går kula i en sirkelbane rundt sleggekasterens hånd. Snorkraften \(\vec{S}\) fra wiren peker hele tiden inn mot sentrum — det er denne kraften som gir kula sentripetalakselerasjonen. (Vi forenkler ved å se bort fra tyngdekraften, og ser bare på kreftene i sirkelens plan.)
Sett ovenfra: slegge i en sleggekasters hånd. Snorkraften \(\vec{S}\) fra wiren er alltid rettet inn mot sentrum.
Eksempel: Slegge
En sleggekaster svinger en slegge med masse \(m = 4.0\,\mathrm{kg}\) rundt seg. Avstanden fra hånda til kula er \(r = 1.2\,\mathrm{m}\), og kula holder konstant fart \(v = 15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\). Vi ser bort fra tyngdekraften.
Finn kraften i wiren.
Snorkraften \(S\) fra wiren er den eneste kraften vi tar med, og den peker alltid inn mot sentrum (hånda). Den sørger for sentripetalakselerasjonen: \[\sum F = \frac{mv^2}{r} \quad\implies\quad S = \frac{mv^2}{r} = \frac{4.0\,\mathrm{kg} \cdot (15\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{1.2\,\mathrm{m}} = \frac{900\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}}{1.2\,\mathrm{m}} = \underline{\underline{7.5\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Det tilsvarer omtrent tyngden av en person på \(75\,\mathrm{kg}\), så sleggekasteren må holde godt fast!
Karusell
Et barn med masse \(m = 25\,\mathrm{kg}\) sitter \(r = 3.0\,\mathrm{m}\) fra sentrum av en karusell som snurrer horisontalt. Karusellen snurrer med konstant fart \(v = 4.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\).
Hva er den resulterende sentripetalkraften på barnet?
Den resulterende kraftsummen på barnet må peke inn mot sentrum og ha størrelse \(\sum F = mv^2/r\) (se Sentripetalkraft): \[\sum F = \frac{mv^2}{r} = \frac{25\,\mathrm{kg}\cdot(4.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{3.0\,\mathrm{m}} = 133\,\mathrm{N} \approx \underline{\underline{1.3\cdot 10^{2}\,\mathrm{N}}}\] Denne kraften må komme fra noe som faktisk trekker eller skyver barnet inn mot sentrum – for eksempel et sikkerhetsbelte eller friksjon mot setet.
I en loop på tivoli beveger vogna seg i en vertikal sirkel. Da virker tyngdekraften delvis langs bevegelsesretningen, slik at farten endrer seg underveis: vogna går fortere i bunnen enn på toppen. Likevel gjelder sammenhengen for sentripetalkraft i hvert eneste punkt: kraftsummen inn mot sentrum må være \(mv^2/r\), der \(v\) er farten akkurat der vogna er.
Vogn i en vertikal loop på tivoli, sett fra siden. Farten \(v\) er tangentiell til sirkelen i alle fire posisjonene.
Eksempel: Vogn i loop på tivoli
På tivoli går en vogn i en vertikal, helt sirkulær loop. Figuren viser fart i bunnen av loopen (A), halvveis opp loopen (B), på toppen av loopen (C) og halvveis ned igjen (D).
Finn uttrykk for normalkraften i alle tilfeller.
Hvor stor må \(v_\text{C}\) være for at vogna ikke skal falle av på toppen?
a) To krefter virker på vogna: tyngdekraften \(G = m\mathrm{g}\) (alltid rett ned) og normalkraften \(\vec{N}\) fra skinnene. Vogna kjører på innsiden av loopen, så \(\vec{N}\) peker alltid inn mot sentrum. Vi velger positiv retning inn mot sentrum og bruker at \(\sum F = mv^2/r\) i hver posisjon.
A (bunnen): \(\vec{N}\) peker opp (inn mot sentrum), \(\vec{G}\) peker ned (ut fra sentrum): \[N_\text{A} - m\mathrm{g} = m\frac{v_\text{A}^2}{r} \quad\implies\quad N_\text{A} = m\frac{v_\text{A}^2}{r} + m\mathrm{g}\]
B og D (halvveis opp og halvveis ned): \(\vec{N}\) er vannrett og peker inn mot sentrum. \(\vec{G}\) står vinkelrett på denne retningen og bidrar ikke til kraftsummen inn mot sentrum (den endrer bare hvor fort vogna går): \[N_\text{B} = m\frac{v_\text{B}^2}{r}, \qquad N_\text{D} = m\frac{v_\text{D}^2}{r}\]
C (toppen): Både \(\vec{N}\) og \(\vec{G}\) peker ned, altså inn mot sentrum: \[N_\text{C} + m\mathrm{g} = m\frac{v_\text{C}^2}{r} \quad\implies\quad N_\text{C} = m\frac{v_\text{C}^2}{r} - m\mathrm{g}\]
b) Skinnene kan bare skyve på vogna, ikke trekke i den. Normalkraften kan derfor ikke bli negativ. Hvis vi får \(N_\text{C} < 0\) i uttrykket over, betyr det at vogna ikke klarer å holde kontakten med skinnene — den faller av. Kravet er altså \[N_\text{C} \geq 0 \quad\implies\quad m\frac{v_\text{C}^2}{r} - m\mathrm{g} \geq 0 \quad\implies\quad \underline{\underline{v_\text{C} \geq \sqrt{\mathrm{g}\,r}}}\] Massen faller ut: minstefarten på toppen er den samme for en tom og en full vogn.
Kan en bil kjøre gjennom en sirkelformet sving uten friksjon mellom dekk og vei? Ja — hvis veibanen er dosert (hellet innover) med riktig vinkel \(\alpha\). Da gir normalkraftens horisontale komponent sentripetalakselerasjonen. Koordinatsystemet velges med \(V\)-akse (vertikalt opp) og \(H\)-akse (horisontalt inn mot sentrum), se figur.
Dosert veibane i tverrsnitt. \(\vec{N}\) dekomponeres i \(N_V\) (opp) og \(N_H\) (inn mot sentrum). \(H\)-aksen peker inn mot svingsentrummet.
Eksempel: Dosering av veibane
Er det mulig for en bil med konstant fart \(v\) å kjøre gjennom en sirkelformet sving med radius \(r\) uten friksjon mellom dekk og vei? Bestem nødvendig dosering (helningsvinkel) \(\alpha\). Bruk \(v = 90\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\) og \(r = 200\,\mathrm{m}\).
1. Figur: Se figur over. To krefter virker på bilen: \(\vec{N}\) (normalt på veidekket) og \(\vec{G}\) (rett ned). Ingen friksjon.
2. Lov: Newtons 2. lov. Sentripetalakselerasjon \(a = v^2/r\) i \(H\)-retningen; null akselerasjon i \(V\)-retningen.
3. Koordinatsystem: \(V\)-akse vertikalt opp, \(H\)-akse horisontalt inn mot sentrum.
4. Dekomponér: \[\begin{aligned} \sum F_V = 0 &:\quad N_V - G = 0 \implies N_V = m\mathrm{g} \\ \sum F_H = m\frac{v^2}{r} &:\quad N_H = m\frac{v^2}{r} \end{aligned}\]
5. Løs: Fra geometrien (se figur) er \(\tan\alpha = N_H/N_V\). Del \((\star\star)\) på \((\star)\): \[\tan\alpha = \frac{N_H}{N_V} = \frac{m\,v^2/r}{m\,\mathrm{g}} = \frac{v^2}{r\,\mathrm{g}}\] Massen faller ut — doseringa er uavhengig av kjøretøyets masse. Med tall (\(v = 25\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\), \(r = 200\,\mathrm{m}\)): \[\tan\alpha = \frac{(25\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1})^2}{200\,\mathrm{m}\cdot9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}} = 0.318 \implies \alpha = \arctan(0.318) = 17.7° \approx \underline{\underline{18°}}\]