Overslag og størrelsesordener

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Video kommer

Video kommer

Hvor mye vann bruker hele Norge til dusjing hver dag? Ingen har målt det nøyaktig, og du finner det neppe i en tabell. Likevel kan du finne et ganske godt svar på et par minutter – med noen runde tall og litt sunn fornuft. Det kalles et overslag, og det er et av de nyttigste verktøyene en fysiker eller ingeniør har.

Hvorfor overslag?

Et overslag er et grovt anslag der vi bare bryr oss om å få svaret omtrent riktig. Det er nyttig av to grunner:

  • Du får et svar raskt, også når du ikke har alle tallene.
  • Du kan sjekke et svar. Har du regnet ut at en bil veier \(12\ \mathrm{kg}\) eller at et menneske løper \(300\ \mathrm{km/h}\), sier et overslag deg med en gang at noe er galt.

Den siste grunnen er kanskje den viktigste. Gjør det til en vane å spørre deg selv: Er svaret rimelig?

Tierpotenser

I fysikk møter vi både veldig store og veldig små tall. Da er det lurt å skrive dem med tierpotenser:

Tierpotens Betyr Tierpotens Betyr
\(10^{1}\) \(10\) \(10^{-1}\) \(0{,}1\)
\(10^{2}\) \(100\) \(10^{-2}\) \(0{,}01\)
\(10^{3}\) \(1000\) \(10^{-3}\) \(0{,}001\)
\(10^{6}\) \(1\,000\,000\) (en million) \(10^{-6}\) \(0{,}000\,001\) (en milliondel)
\(10^{0}\) \(1\)

Eksponenten forteller hvor mange plasser kommaet flyttes: mot høyre for positiv eksponent, mot venstre for negativ. Et tall skrevet som \(5{,}6\cdot 10^{6}\) (i stedet for \(5\,600\,000\)) står på standardform. Du lærer mer om standardform senere i dette kapittelet.

Når vi ganger og deler tierpotenser, legger vi sammen og trekker fra eksponentene:

\[ 10^{a}\cdot 10^{b} = 10^{a+b} \qquad\qquad \frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b} \]

For eksempel er \(10^{3}\cdot 10^{4} = 10^{7}\) og \(\dfrac{10^{8}}{10^{2}} = 10^{6}\).

Størrelsesorden

Definisjon: Størrelsesorden

Størrelsesordenen til et tall er den tierpotensen som ligger nærmest tallet.

Høyden til et menneske, omtrent \(1{,}7\ \mathrm{m}\), har størrelsesorden \(10^{0}\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{m}\). Høyden til Galdhøpiggen, \(2469\ \mathrm{m} \approx 2{,}5\cdot10^{3}\ \mathrm{m}\), har størrelsesorden \(10^{3}\ \mathrm{m}\).

Skriv tallet på standardform. Er tallet foran tierpotensen mindre enn omtrent \(3\), beholder vi tierpotensen. Er det større enn omtrent \(3\), runder vi opp til neste tierpotens.1 Så \(2{,}5\cdot10^3\) blir \(10^3\), mens \(6{,}4\cdot10^6\) blir \(10^7\).

Naturen spenner over utrolig mange størrelsesordener:

Ting Lengde Størrelsesorden
atom \(1\cdot10^{-10}\ \mathrm{m}\) \(10^{-10}\ \mathrm{m}\)
menneskecelle \(2\cdot10^{-5}\ \mathrm{m}\) \(10^{-5}\ \mathrm{m}\)
menneske \(1{,}7\ \mathrm{m}\) \(10^{0}\ \mathrm{m}\)
Galdhøpiggen (høyde) \(2{,}5\cdot10^{3}\ \mathrm{m}\) \(10^{3}\ \mathrm{m}\)
jordas radius \(6{,}4\cdot10^{6}\ \mathrm{m}\) \(10^{7}\ \mathrm{m}\)
avstanden til sola \(1{,}5\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\) \(10^{11}\ \mathrm{m}\)

To ting som skiller seg med en faktor \(10\), sier vi skiller seg med én størrelsesorden. Jordas radius er omtrent \(2600\) ganger større enn høyden til Galdhøpiggen – drøyt tre størrelsesordener.

Fire steg til et godt overslag

Fire steg som alltid virker
  1. Hva skal vi finne? Skriv det opp, med enhet.
  2. Del opp problemet i mindre biter du kan gjette på.
  3. Anslå hver bit med runde tall. Ett gjeldende siffer holder.
  4. Regn ut og spør: Er svaret rimelig? Oppgi svaret med ett siffer eller som størrelsesorden.

Det overraskende er at feilene ofte jevner seg ut. Gjetter du litt for høyt på én bit og litt for lavt på en annen, havner svaret likevel nær det riktige.

Eksempel: Dusjvann i Norge. Lag et overslag over hvor mange liter vann som brukes til dusjing i Norge i løpet av én dag.

1. Hva skal vi finne? Vannmengden \(V\) i liter per dag.

2. Del opp. Vannmengden er

\[ V = (\text{antall dusjer per dag})\cdot(\text{minutter per dusj})\cdot(\text{liter per minutt}) \]

3. Anslå.

  • Norge har omtrent \(5\cdot10^{6}\) innbyggere. Vi antar at hver person dusjer én gang om dagen: \(5\cdot10^{6}\) dusjer.
  • En dusj varer kanskje \(8\ \mathrm{min}\).
  • En vanlig dusj gir omtrent \(10\ \mathrm{L}\) vann i minuttet.

4. Regn ut.

\[ V = 5\cdot10^{6}\cdot 8\ \mathrm{min}\cdot 10\ \mathrm{L/min} = 400\cdot10^{6}\ \mathrm{L} = 4\cdot10^{8}\ \mathrm{L} \]

\[ V \approx \underline{\underline{4\cdot10^{8}\ \mathrm{L}}} \]

Er det rimelig? \(4\cdot10^8\ \mathrm{L}\) er \(4\cdot10^5\ \mathrm{m^3}\) (det går \(1000\ \mathrm{L}\) på en kubikkmeter). Et olympisk svømmebasseng rommer omtrent \(2500\ \mathrm{m^3}\), så dette er omtrent \(160\) svømmebassenger med vann hver dag. Det høres mye ut, men vi er jo mange! Svaret er nok riktig innenfor en faktor 2–3, og størrelsesordenen er \(10^{9}\ \mathrm{L}\).

Prøv selv: din egen dusjberegning

Endre tallene i programmet til det du selv tror er riktig, og trykk Kjør. Hvor mye endrer svaret seg hvis du dobler ett av tallene?

import math

innbyggere = 5e6        # antall personer
dusjer_per_dag = 1      # dusjer per person per dag
minutter = 8            # minutter per dusj
liter_per_minutt = 10   # vannføring i dusjen

V = innbyggere * dusjer_per_dag * minutter * liter_per_minutt
orden = round(math.log10(V))

print(f"Vann per dag: {V:.1e} liter")
print(f"Det er {V/1000/2500:.0f} olympiske svømmebassenger")
print(f"Størrelsesorden: 10^{orden} liter")

Skriv tallene på standardform og finn størrelsesordenen.

  1. Avstanden Oslo–Trondheim langs veien, \(490\ \mathrm{km}\), i meter.
  2. Massen til en mygg, \(0{,}0000025\ \mathrm{kg}\).
  3. Antall innbyggere i verden, omtrent \(8\,200\,000\,000\).

  1. \(490\ \mathrm{km} = 490\,000\ \mathrm{m} = 4{,}9\cdot10^{5}\ \mathrm{m}\). Tallet foran, \(4{,}9\), er større enn \(3\), så vi runder opp: størrelsesorden \(\underline{\underline{10^{6}\ \mathrm{m}}}\).

  2. \(0{,}0000025\ \mathrm{kg} = 2{,}5\cdot10^{-6}\ \mathrm{kg}\) (kommaet flyttes 6 plasser mot høyre). \(2{,}5\) er mindre enn \(3\): størrelsesorden \(\underline{\underline{10^{-6}\ \mathrm{kg}}}\).

  3. \(8\,200\,000\,000 = 8{,}2\cdot10^{9}\). \(8{,}2\) er større enn \(3\): størrelsesorden \(\underline{\underline{10^{10}}}\).

Hvor mange sekunder er det i et år? Regn først med runde tall i hodet, og så nøyaktig.

Et år har \(365\) døgn, et døgn har \(24\) timer, en time har \(60\) minutter og et minutt har \(60\) sekunder.

Overslag i hodet: \(400 \cdot 25 \cdot 60 \cdot 60 = 10\,000\cdot 3600 = 3{,}6\cdot10^{7}\ \mathrm{s}\).

Nøyaktig: \[ 365\cdot 24\cdot 60\cdot 60\ \mathrm{s} = 31\,536\,000\ \mathrm{s} \approx \underline{\underline{3{,}2\cdot10^{7}\ \mathrm{s}}} \]

Overslaget bommet med drøyt \(10\ \%\) – mer enn godt nok til å få riktig størrelsesorden, \(10^{7}\ \mathrm{s}\). Mange fysikere husker tallet som «omtrent \(\pi\cdot10^{7}\) sekunder».

Hjertet til et voksent menneske slår omtrent \(70\) ganger i minuttet. Lag et overslag over hvor mange ganger hjertet slår i løpet av et liv på \(80\) år.

Del opp: antall slag \(= (\text{slag per minutt})\cdot(\text{minutter i et liv})\).

Minutter i et år: \(365\cdot24\cdot60 = 525\,600 \approx 5{,}3\cdot10^{5}\).

Minutter i 80 år: \(80\cdot 5{,}3\cdot10^{5} \approx 4{,}2\cdot10^{7}\).

Antall slag: \[ N = 70\cdot 4{,}2\cdot10^{7} \approx 2{,}9\cdot10^{9} \]

Hjertet slår omtrent \(\underline{\underline{3\cdot10^{9}}}\) ganger – rundt tre milliarder slag. Pulsen varierer mye (lavere i søvn, høyere under trening), så ett siffer er nok.

Et klasserom er \(8\ \mathrm{m}\) langt, \(6\ \mathrm{m}\) bredt og \(3\ \mathrm{m}\) høyt. En kubikkmeter luft har massen \(1{,}2\ \mathrm{kg}\). Hvor mye veier lufta i rommet? Sammenlign med noe du kjenner.

Volumet av rommet: \[ V = 8\ \mathrm{m}\cdot 6\ \mathrm{m}\cdot 3\ \mathrm{m} = 144\ \mathrm{m^3} \]

Hver kubikkmeter har massen \(1{,}2\ \mathrm{kg}\), så \[ m = 144\ \mathrm{m^3}\cdot 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3} = 173\ \mathrm{kg} \approx \underline{\underline{2\cdot10^{2}\ \mathrm{kg}}} \]

Det er omtrent like mye som to–tre voksne mennesker! Lufta føles vektløs fordi vi er omgitt av den på alle kanter, men den har masse.

Hvor mange tennisballer får plass i klasserommet fra forrige oppgave? En tennisball har en diameter på omtrent \(6{,}7\ \mathrm{cm}\). Bruk de fire stegene.

1. Hva skal vi finne? Antall baller \(N\) (et rent tall).

2. Del opp: \(N = \dfrac{\text{volumet av rommet}}{\text{plassen hver ball tar}}\).

3. Anslå. Ballene kan ikke fylle rommet helt; det blir luft mellom dem. En enkel modell er at hver ball tar like mye plass som en terning med sider lik diameteren: \[ V_\text{ball} \approx (0{,}067\ \mathrm{m})^3 = 3{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3} \] Rommet har \(V = 144\ \mathrm{m^3} \approx 1{,}4\cdot10^{2}\ \mathrm{m^3}\).

4. Regn ut. \[ N \approx \frac{1{,}4\cdot10^{2}\ \mathrm{m^3}}{3{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^3}} \approx 0{,}48\cdot10^{6} \approx \underline{\underline{5\cdot10^{5}}} \]

Det får plass omtrent en halv million tennisballer. Legger vi dem tettere (slik appelsiner stables i butikken), får vi plass til inntil \(40\ \%\) flere, men størrelsesordenen er fortsatt \(10^{6}\). Pulter og stoler tar også litt plass, så \(5\cdot10^5\) er et godt overslag.

Fotnoter

  1. Den nøyaktige grensen er \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\), som ligger midt mellom \(1\) og \(10\) når vi tenker i tierpotenser.↩︎