Treghetsmoment og rotasjonsenergi

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Video kommer

Video kommer

Rotasjonsenergi

Mekanisk energi kan også ligge i rotasjon. Del et roterende legeme i små masse-elementer \(\mathrm{d}m\). Et element i avstand \(r\) fra aksen har fart \(v = r\omega\) og kinetisk energi \[ \mathrm{d}E_K = \tfrac12 v^2\,\mathrm{d}m = \tfrac12(r\omega)^2\,\mathrm{d}m \] Alle elementene har samme \(\omega\), så \[ E_K = \int\mathrm{d}E_K = \tfrac12\omega^2\int r^2\,\mathrm{d}m \] Integralet definerer vi som treghetsmomentet:

\[ I = \int r^2\,\mathrm{d}m \quad\left(\text{diskret: } I = \sum_i r_i^2m_i\right), \qquad (E_K)_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2 \]

Treghetsmomentet er rotasjonstreghet: det sier hvor vanskelig det er å endre rotasjonen, slik masse sier hvor vanskelig det er å endre farten. Det avhenger både av massen og av hvordan massen er fordelt: masse langt fra aksen teller mye (\(r^2\)).

Vanlige treghetsmomenter

Legeme Akse \(I\)
tynn ring gjennom sentrum \(MR^2\)
tykk ring (sylinderskall) gjennom sentrum \(\frac12 M(R_1^2 + R_2^2)\)
massiv sylinder eller skive gjennom sentrum \(\frac12 MR^2\)
tynn stav, lengde \(L\) gjennom midten \(\frac1{12}ML^2\)
tynn stav, lengde \(L\) gjennom enden \(\frac13 ML^2\)
massiv kule gjennom sentrum \(\frac25 MR^2\)
tynt kuleskall gjennom sentrum \(\frac23 MR^2\)
rektangulær plate \(a\times b\) normalt på, gjennom sentrum \(\frac1{12}M(a^2 + b^2)\)

Eksempel: Treghetsmomentet til en skive. En skive med radius \(R\) har flatetetthet \(\sigma = \mathrm{d}M/\mathrm{d}A\).

Finn treghetsmomentet om aksen gjennom sentrum.

Del den i tynne ringer med radius \(r\) og tykkelse \(\mathrm{d}r\): \(\mathrm{d}M = \sigma\cdot2\pi r\,\mathrm{d}r\). \[ I = \int_0^R r^2\,\sigma\,2\pi r\,\mathrm{d}r = 2\pi\sigma\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \tfrac12\,\underbrace{\pi R^2\sigma}_{M}\,R^2 = \tfrac12 MR^2 \] Skiva har halvparten av treghetsmomentet til en ring med samme masse og radius, fordi mye av massen er nær aksen.

Steiners sats

Treghetsmomentet om en akse \(L\) som er parallell med en akse gjennom massesenteret, i avstand \(d\):

\[ I_L = I_\text{cm} + Md^2 \]

Eksempel: En plate («slabb»). En plate med sider \(a\) og \(b\) og konstant tetthet \(\sigma\) roterer om en akse normalt på platen gjennom sentrum.

Finn treghetsmomentet om denne aksen.

Med \(\mathrm{d}m = \sigma\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) og \(r^2 = x^2 + y^2\): \[ I_\text{cm} = \sigma\int_{-b/2}^{b/2}\int_{-a/2}^{a/2}(x^2 + y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{\sigma}{12}(a^3b + ab^3) = \tfrac1{12}M(a^2 + b^2) \] Om et hjørne er avstanden til sentrum \(d^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2\), og Steiners sats gir \[ I_\text{hjørne} = \tfrac1{12}M(a^2 + b^2) + \tfrac14 M(a^2 + b^2) = \tfrac13 M(a^2 + b^2) \]

Eksempel: Energi i sykkeldekket. En sykkel holder \(40\ \mathrm{km/h}\). Dekket veier \(800\ \mathrm{g}\) med all massen mellom \(R_1 = 30\ \mathrm{cm}\) og \(R_2 = 35\ \mathrm{cm}\).

a) Hvor stor er rotasjonsenergien i dekket?
b) Hva er treghetsmomentet om en akse \(0.50\ \mathrm{m}\) fra sentrum?

a) \(I_\text{cm} = \frac12 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac12\cdot0.800\,(0.30^2 + 0.35^2)\ \mathrm{kg\,m^2} \approx 0.085\ \mathrm{kg\,m^2}\). Ren rulling gir \(\omega = v/R_2 = 11.1/0.35\ \mathrm{s^{-1}} \approx 31.7\ \mathrm{s^{-1}}\), og \[ (E_K)_\text{rot} = \tfrac12\cdot0.085\cdot31.7^2\ \mathrm{J} \approx 43\ \mathrm{J} \]

b) Om en akse \(d = 0.50\ \mathrm{m}\) fra sentrum: \(I_L = 0.085 + 0.800\cdot0.50^2 \approx 0.29\ \mathrm{kg\,m^2}\). Større enn \(I_\text{cm}\), som det skal være.

Hva tilsvarer disse størrelsene ved ren rotasjon? a) masse, b) fart, c) akselerasjon, d) bevegelsesmengde, e) kraft, f) kinetisk energi.

  1. treghetsmoment \(I = \int r^2\,\mathrm{d}m\); b) vinkelfart \(\omega = \mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t\); c) vinkelakselerasjon \(\alpha = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}t\); d) dreieimpuls \(\vec L = \vec r\times\vec p = I\vec\omega\); e) kraftmoment \(\vec\tau = \vec r\times\vec F\), med \(\sum\vec\tau = I\vec\alpha\); f) rotasjonsenergi \(\frac12 I\omega^2\).

All massen i et sykkelhjul (\(700\ \mathrm{g}\)) ligger jevnt mellom \(R_I = 33\ \mathrm{cm}\) og \(R_Y = 37\ \mathrm{cm}\). Sykkelen kjører i \(40\ \mathrm{km/h}\) med ren rulling.

  1. Finn treghetsmomentet. b) Finn rotasjonsenergien. c) Finn translasjonsenergien.

a) \(I = \frac12 m(R_I^2 + R_Y^2) = \frac12\cdot0.7\,(0.33^2 + 0.37^2)\ \mathrm{kg\,m^2} \approx \underline{\underline{0.086\ \mathrm{kg\,m^2}}}\)

b) \(\omega = v/R_Y = (40/3.6)/0.37\ \mathrm{rad/s} \approx 30\ \mathrm{rad/s}\), så \(E_\text{rot} = \frac12 I\omega^2 \approx \underline{\underline{39\ \mathrm{J}}}\).

c) \(E_\text{trans} = \frac12 mv^2 = \frac12\cdot0.7\cdot(40/3.6)^2\ \mathrm{J} \approx \underline{\underline{43\ \mathrm{J}}}\). For et hjul med nesten all massen ytterst er rotasjonsenergien nesten like stor som translasjonsenergien.

En enkel modell av et menneske med masse \(m\) som står med armene inntil kroppen (akse loddrett gjennom midten):

  1. hode (5 %): kule med radius \(r\),
  2. overkropp (55 %): sylinder med radius \(2r\),
  3. armer (5 % hver): tynne stenger i avstand \(2r\) fra aksen,
  4. bein (15 % hver): sylindre med radius \(2r/3\), med senterlinje i avstand \(r\) fra aksen.

  1. Hvorfor avhenger ikke treghetsmomentet av lengden på armer og bein?

  2. Finn treghetsmomentet uttrykt ved \(m\) og \(r\).

  3. Hva blir det for en person på \(70\ \mathrm{kg}\) med hodeomkrets \(60\ \mathrm{cm}\)?

a) Aksen går langs armene og beina. Treghetsmomentet avhenger bare av avstanden fra aksen, ikke av hvor langt massen strekker seg langs den.

b) Vi summerer delene (Steiners sats for beina): \[ \begin{aligned} I_1 &= \tfrac25(0.05m)r^2 = 0.02\,mr^2 \\ I_2 &= \tfrac12(0.55m)(2r)^2 = 1.10\,mr^2 \\ I_3 &= (2\cdot0.05m)(2r)^2 = 0.40\,mr^2 \\ I_4 &= 2\cdot0.15m\left[\tfrac12\left(\tfrac{2r}{3}\right)^2 + r^2\right] = 0.37\,mr^2 \end{aligned} \] \[ I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \approx \underline{\underline{1.9\,mr^2}} \]

c) \(r = 0.60\ \mathrm{m}/(2\pi) \approx 0.095\ \mathrm{m}\), så \(I \approx 1.9\cdot70\cdot0.095^2\ \mathrm{kg\,m^2} \approx \underline{\underline{1.2\ \mathrm{kg\,m^2}}}\).