Friksjon, fjærer og trinser

Under arbeid

Dette faget skrives fortsatt. Innholdet kan endre seg.

Video kommer

Video kommer

Med Newtons lover på plass trenger vi gode modeller for de kreftene som dukker opp igjen og igjen: friksjon, fjærkraft og snordrag. Alle er kontaktkrefter, og alle er forenklinger av hva som skjer mellom atomene i flatene.

Friksjon

Friksjon virker langs kontaktflaten og motvirker at flatene glir mot hverandre. Vi skiller mellom to typer:

  • Statisk friksjon (hvilefriksjon) \(f_s \le \mu_s N\). Den er akkurat så stor som trengs for å holde legemet i ro, opp til en største verdi \(\mu_s N\).
  • Kinetisk friksjon (glidefriksjon) \(f_k = \mu_k N\), når flatene glir mot hverandre. Den peker mot den relative bevegelsen.

Her er \(N\) normalkraften, og \(\mu_s\) og \(\mu_k\) er friksjonstallene. De er rene tall uten enhet. Vanligvis er \(\mu_k < \mu_s\): Det er tyngre å få noe i gang enn å holde det gående.

Flater \(\mu_s\) \(\mu_k\)
gummi på tørr betong 1.0 0.7
gummi på våt betong 0.5–0.7 0.3–0.5
tre på tre 0.5 0.3
voksede ski på våt snø 0.14 0.1
stål på stål (tørt) 0.6 0.3
stål på stål (oljet) 0.05 0.03
teflon på stål 0.04 0.04
sko på tre 0.9 0.7
sko på is 0.1 0.05
stål på is 0.4 0.02

Eksempel: Hvor hardt må du dytte? En kasse på \(40\ \mathrm{kg}\) står på et tregulv, med \(\mu_s = 0.50\) og \(\mu_k = 0.30\).

a) Hvor stor vannrett kraft må til for å få kassen i gang?
b) Hvor stor kraft trengs for å holde den gående med konstant fart?
c) Du dytter med \(100\ \mathrm{N}\) mens kassen står i ro. Hvor stor er friksjonen?

Loddrett er det ingen akselerasjon, så \(N = m\mathrm{g} = 40\cdot9.81\ \mathrm{N} = 392\ \mathrm{N}\).

a) Kassen begynner å gli når kraften overstiger største hvilefriksjon: \(F = \mu_s N = 0.50\cdot392\ \mathrm{N} \approx \underline{\underline{0.20\ \mathrm{kN}}}\).

b) Konstant fart betyr \(\sum F = 0\), så \(F = f_k = \mu_k N = 0.30\cdot392\ \mathrm{N} \approx \underline{\underline{0.12\ \mathrm{kN}}}\).

c) \(100\ \mathrm{N}\) er mindre enn \(196\ \mathrm{N}\), så kassen står i ro. Da er \(\sum F = 0\), og friksjonen er akkurat \(\underline{\underline{100\ \mathrm{N}}}\), mot dyttet. Hvilefriksjonen er ikke alltid \(\mu_s N\), bare høyst så stor.

Hvorfor ABS-bremser?

Et dekk som ruller uten å skli, har statisk friksjon mot veien. Låser hjulene seg, blir det kinetisk friksjon, som er mindre. ABS-bremser hindrer hjulene i å låse seg, slik at bilen bremser med den største friksjonen og samtidig kan styres.

Fjærkraft

En ideell fjær følger Hookes lov: Kraften er proporsjonal med hvor mye fjæra er strukket eller presset sammen fra likevekt, \[ F_k = -kx \] Minustegnet betyr at kraften virker mot utstrekningen: Strekker du fjæra, drar den tilbake. Presser du den sammen, dytter den ut. Fjærkonstanten \(k\) (enhet \(\mathrm{N/m}\)) sier hvor stiv fjæra er. Når vi bare trenger størrelsen, skriver vi \(F_k = kx\).

Eksempel: Trampoline. En person på \(70\ \mathrm{kg}\) står i ro på en trampoline som virker som en fjær med \(k = 2.5\ \mathrm{kN/m}\). Hvor mye er duken presset ned?

I likevekt er \(a = 0\), så \(\sum F = kx - m\mathrm{g} = 0\): \[ x = \frac{m\mathrm{g}}{k} = \frac{70\ \mathrm{kg}\cdot9.81\ \mathrm{m/s^2}}{2.5\cdot10^3\ \mathrm{N/m}} \approx \underline{\underline{27\ \mathrm{cm}}} \]

Snordrag

En stram snor drar i det den er festet til, med en kraft langs snora. Den kalles snordrag og skrives \(S\) (eller \(T\)). En snor kan bare dra, aldri dytte. I en ideell snor (masseløs og ustrekkelig) er snordraget like stort i hele snora, og alt som henger i den, har samme fart og akselerasjon langs snora.

Trinser og systemer av legemer

Klosser kan kobles sammen med en snor over en friksjonsfri trinse. Tre ting er verdt å merke seg:

  • Indre krefter nuller hverandre ut Snora drar i begge klossene med like stort snordrag \(S\). For systemet som helhet er summen av de indre kreftene null.
  • Bare ytre krefter akselererer systemet Newtons 2. lov gjelder for hele systemet, med den samlede massen.
  • Trinsa endrer bare retningen Kraften fra en ideell trinse snur snora. Den bidrar ikke til fartsøkningen langs snora.

Eksempel: Lodd på trinse. Kloss \(M_1\) ligger på et bord, kloss \(M_2\) henger i snora. Finn akselerasjonen.

Gjør det først uten friksjon, og så med kinetisk friksjonstall \(\mu_k\) mellom \(M_1\) og bordet.

Uten friksjon (\(\mu_k = 0\)): For \(M_1\) er \(N_1 = G_1\) (ingen bevegelse loddrett). Langs snora er den eneste ytre kraften som driver systemet, tyngden \(G_2 = M_2\mathrm{g}\). Hele systemet har massen \(M_1 + M_2\): \[ M_2\mathrm{g} = (M_1 + M_2)\,a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{M_2}{M_1 + M_2}\,\mathrm{g} \]

Med friksjon (\(\mu_k > 0\)): Nå bremser friksjonen \(f = \mu_k N_1 = \mu_k M_1\mathrm{g}\): \[ M_2\mathrm{g} - \mu_k M_1\mathrm{g} = (M_1 + M_2)\,a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{M_2 - \mu_k M_1}{M_1 + M_2}\,\mathrm{g} \] Sjekk: Med \(\mu_k = 0\) får vi resultatet over igjen. Og er \(\mu_k M_1 > M_2\), blir \(a\) negativ. Det betyr at systemet ikke kommer i gang. Da gjelder ikke formelen lenger, og den statiske friksjonen holder klossene i ro.

Finn snordraget \(S\) i eksempelet med lodd på trinse uten friksjon.

Se på \(M_1\) alene. Den eneste vannrette kraften på den er snordraget, så \(S = M_1 a\): \[ S = M_1\cdot\frac{M_2}{M_1 + M_2}\,\mathrm{g} = \frac{M_1M_2}{M_1 + M_2}\,\mathrm{g} \] Snordraget er mindre enn tyngden \(M_2\mathrm{g}\) av det hengende loddet. Det må det være, ellers ville ikke \(M_2\) akselerert nedover.

To lodd, \(m_1 = 2.0\ \mathrm{kg}\) og \(m_2 = 3.0\ \mathrm{kg}\), henger i hver sin ende av en snor over en friksjonsfri trinse. Finn akselerasjonen og snordraget.

Systemet beveger seg slik at \(m_2\) går ned. Langs snora (positiv retning: \(m_2\) ned, \(m_1\) opp) er de ytre kreftene \(m_2\mathrm{g}\) med og \(m_1\mathrm{g}\) mot: \[ a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,\mathrm{g} = \frac{1.0}{5.0}\cdot9.81\ \mathrm{m/s^2} \approx \underline{\underline{2.0\ \mathrm{m/s^2}}} \] For \(m_1\) alene (positiv opp): \(S - m_1\mathrm{g} = m_1a\), så \[ S = m_1(\mathrm{g} + a) = 2.0\cdot(9.81 + 1.96)\ \mathrm{N} \approx \underline{\underline{24\ \mathrm{N}}} \] Snordraget ligger mellom tyngden av det lette (\(19.6\ \mathrm{N}\)) og det tunge loddet (\(29.4\ \mathrm{N}\)).

En bil bremser med låste hjul på våt asfalt (\(\mu_k = 0.40\)) fra \(72\ \mathrm{km/h}\).

  1. Hvor stor er akselerasjonen?

  2. Hvor lang er bremsestrekningen?

  3. Hva blir bremsestrekningen med ABS, der hjulene ruller og \(\mu_s = 0.60\) virker?

a) Loddrett: \(N = m\mathrm{g}\). Vannrett: \(-\mu_kN = ma\), så \(a = -\mu_k\mathrm{g} = -0.40\cdot9.81\ \mathrm{m/s^2} \approx \underline{\underline{-3.9\ \mathrm{m/s^2}}}\). Massen forsvinner.

b) \(v_0 = 72/3.6\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s}\). Fra \(2as = v^2 - v_0^2\) med \(v = 0\): \[ s = \frac{v_0^2}{2\mu_k\mathrm{g}} = \frac{(20\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot0.40\cdot9.81\ \mathrm{m/s^2}} \approx \underline{\underline{51\ \mathrm{m}}} \]

c) Med \(\mu_s = 0.60\): \(s = \dfrac{400}{2\cdot0.60\cdot9.81}\ \mathrm{m} \approx \underline{\underline{34\ \mathrm{m}}}\). ABS sparer altså rundt \(17\ \mathrm{m}\), og bilen kan styres underveis.

To fjærer med fjærkonstantene \(k_1\) og \(k_2\) kobles etter hverandre (i serie), og et lodd med tyngde \(G\) henges i den nederste. Vis at koblingen virker som én fjær med \[ \frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \]

Begge fjærene bærer hele tyngden, så kraften i hver er \(G\). Da strekkes de \(x_1 = G/k_1\) og \(x_2 = G/k_2\). Total strekk er \[ x = x_1 + x_2 = G\left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\right) \] En enkelt fjær med konstant \(k\) ville strekkes \(x = G/k\). Sammenligner vi, får vi \(\frac1k = \frac1{k_1} + \frac1{k_2}\). Seriekoblingen er mykere enn hver av fjærene alene.