2.5 Operasjoner med vektorer

Kapittel 2: Matematiske verktøy vi trenger

Vi har alt sett at vektorer kan adderes (plusses sammen). I tillegg kan vi multiplisere en vektor med en skalar (et tall), samt multiplisere vektorer sammen. I dette delkapitlet skal vi se på disse operasjonene og hvordan vi tolker dem.

Definisjon: Vektoraddisjon

Addisjon av vektorer gjøres grafisk ved å plassere starten til den andre vektoren i sluttpunktet til den første (hale-til-spiss-metoden). Algebraisk legges komponentene sammen retningsvis: \[\begin{aligned} \vec{v}+\vec{u} = [v_x + u_x, \; v_y + u_y] \end{aligned}\]

Eksempel 2.11: Vektoraddisjon

Gitt vektorene \(\vec{B} = [3,\,1]\) og \(\vec{C} = [1,\,2]\). Finn resultantvektoren \(\vec{A} = \vec{B} + \vec{C}\) og beregn lengden \(|\vec{A}|\).

Løsning: Vi legger komponentene sammen retningsvis: \[\begin{aligned} \vec{B} &= [3,\,1] = 3\hat{\mathbf{x}} + 1\hat{\mathbf{y}}\\ \vec{C} &= [1,\,2] = 1\hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}}\\ \vec{A} &= \vec{B} + \vec{C} = (3+1)\hat{\mathbf{x}} + (1+2)\hat{\mathbf{y}} = \underline{\underline{[4,\,3]}}. \end{aligned}\] Lengden til resultantvektoren er \[|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \underline{\underline{5}}.\] Figuren under viser tip-til-hale-metoden: \(\vec{C}\) plasseres ved spissen av \(\vec{B}\), og \(\vec{A}\) er pilen fra starten av \(\vec{B}\) til slutten av \(\vec{C}\).

Python: vektoraddisjon

import numpy as np

# Definer vektorene som NumPy-arrays
a = np.array([3.0, -1.0])
b = np.array([-1.0, 4.0])

c = a + b # addisjon

print(f"a = {a}")
print(f"b = {b}")
print(f"a + b = {c}")
print(f"|a + b| = {np.linalg.norm(c):.2f}")
a = [ 3. -1.]
b = [-1. 4.]
a + b = [2. 3.]
|a + b| = 3.61

Kodefil: TRES0312 Python/Kap2_MatematiskeVerktoyViTrenger/K2_vektoraddisjon.ipynb

Vektoraddisjon

Gitt vektorene \(\vec{a} = [3,\,-1]\) og \(\vec{b} = [-1,\,4]\).

  1. Regn ut \(\vec{c}=\vec{a} + \vec{b}\) og \(\vec{d}=\vec{a} - \vec{b}\).

  2. Finn lengden av \(\vec{d}\) og finn en enhetsvektor \(\hat{d}\).

  3. Hva slags vektor blir \(\vec{d}=3\vec{a}\)? Tegn opp begge vektorene.

Multiplikasjon av vektorer: skalarproduktet

Skalarproduktet, også kalt prikkproduktet (engelsk: dot product), er en operasjon mellom to vektorer som gir et tall (en skalar). Det uttrykker i hvilken grad to vektorer peker i samme retning.

Definisjon: Skalarprodukt

Skalarproduktet av to vektorer \(\vec{u} = [u_x,\, u_y]\) og \(\vec{v} = [v_x,\, v_y]\) er definert som \[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x\,v_x + u_y\,v_y. \end{aligned}\] Et ekvivalent uttrykk er \[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta, \end{aligned}\] der \(\theta\) er vinkelen mellom vektorene.

Geometrisk tolkning

Skalarproduktet er et mål på hvor mye to vektorer peker i samme retning. Tenk deg at vi slår lodd fra spissen av \(\vec{A}\) ned på linjen til \(\vec{B}\). Loddfoten gir en projeksjon med lengde \(|\vec{A}|\cos\theta\), og skalarproduktet er denne projeksjonen ganget med \(|\vec{B}|\): \[\vec{A}\cdot\vec{B} \;=\; \underbrace{|\vec{A}|\cos\theta}_{\text{projeksjon av }\vec{A}\text{ på }\vec{B}} \;\cdot\; |\vec{B}|\]

Spesielle tilfeller: \(\theta=0^\circ\) (samme retning) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=1\) (maksimalt positivt); \(\theta=90^\circ\) (vinkelrette) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=0\); \(\theta=180^\circ\) (motsatt retning) \(\Rightarrow\) \(\cos\theta=-1\) (maksimalt negativt).

Ettersom vinkelen mellom enhetsvektorer i et ortogonalt system er 90°, gir definisjonen over oss følgende resultat: \[\begin{aligned} \colorbox{black!7}{$\displaystyle \hat{\mathbf{x}} \cdot \hat{\mathbf{x}} = 1, \qquad \hat{\mathbf{y}} \cdot \hat{\mathbf{y}} = 1, \qquad \hat{\mathbf{x}} \cdot \hat{\mathbf{y}} = 0, \qquad \hat{\mathbf{y}} \cdot \hat{\mathbf{x}} = 0. $} \end{aligned}\] Her har vi brukt at enhetsvektorene har lengde 1, og at \(\cos 90° = 0\) og \(\cos 0° = 1\).

Eksempel 2.12: Skalarprodukt

Finn skalarproduktet av \(\vec{u} = 2\hat{\mathbf{x}} + 3\hat{\mathbf{y}}\) og \(\vec{v} = 4\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}}\).

Løsning: Vi bruker definisjonen av skalarproduktet, og setter inn komponentene i forhold til enhetsvektorene: \[\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= (2\hat{\mathbf{x}} + 3\hat{\mathbf{y}}) \cdot (4\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}}) \\ &= 2\cdot 4 (\hat{\mathbf{x}} \cdot \hat{\mathbf{x}}) + 2\cdot(-1) (\hat{\mathbf{x}} \cdot \hat{\mathbf{y}}) + 3\cdot 4 (\hat{\mathbf{y}} \cdot \hat{\mathbf{x}}) + 3\cdot(-1) (\hat{\mathbf{y}} \cdot \hat{\mathbf{y}}) \\ &= 8\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + 12\cdot 0 + (-3)\cdot 1 \\ &= 8 - 3 = \underline{\underline{5}}. \end{aligned}\]

Eksempel 2.13: Skalarprodukt og vinkel

Finn skalarproduktet av \(\vec{u} = [3,\,4]\) og \(\vec{v} = [1,\,-2]\), og bestem vinkelen mellom dem.

Løsning: Komponentvis: \[\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot 1 + 4\cdot(-2) = 3 - 8 = -5.\] Størrelsen til vektorene er \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5\) og \(|\vec{v}| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}\). Vinkelen finnes fra \[\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}},\] altså \(\theta = \arccos\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx \underline{\underline{116.6^\circ}}\).

Skalarproduktet gir oss også en alternativ måte å uttrykke lengden til en vektor på. Dersom vi tar skalarproduktet av en vektor \(\vec{u}\) med seg selv, er vinkelen mellom vektorene \(\theta = 0^\circ\), slik at \(\cos\theta = 1\): \[\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|\,|\vec{u}|\,\cos 0^\circ = |\vec{u}|^2.\] Dette gir oss en alternativ definisjon av vektorlengden, som vi allerede møtte i Definisjon :

Definisjon: Vektorlengde via skalarproduktet

Lengden til en vektor \(\vec{u} = [u_x,\,u_y]\) kan uttrykkes ved skalarproduktet av vektoren med seg selv: \[\begin{aligned} u = |\vec{u}| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}. \end{aligned}\]

Vi ser at dette stemmer overens med Definisjon : siden \(\vec{u}\cdot\vec{u} = u_x^2+u_y^2\), gir de to definisjonene nøyaktig samme resultat — skalarproduktet av en vektor med seg selv er rett og slett lengden i annen.

Python: skalarprodukt og vinkel

import numpy as np

u = np.array([3.0, 4.0])
v = np.array([1.0, -2.0])

dot = np.dot(u, v)
cos_th = dot / (np.linalg.norm(u) * np.linalg.norm(v))
theta = np.degrees(np.arccos(cos_th))

print(f"u . v = {dot}")
print(f"Vinkel = {theta:.1f} grader")
u . v = -5.0
Vinkel = 116.6 grader

Kodefil: TRES0312 Python/Kap2_MatematiskeVerktoyViTrenger/K2_skalarprodukt.ipynb

Skalarprodukt

Gitt \(\vec{u} = [4,\,3]\) og \(\vec{v} = [2,\,-1]\).

  1. Beregn skalarproduktet \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

  2. Finn vinkelen mellom \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\).

Multiplikasjon av vektorer: kryssproduktet

Kryssprodukt (engelsk: cross product) er en operasjon mellom to vektorer som gir en ny vektor vinkelrett på begge. I to dimensjoner reduseres kryssproduktet til et enkelt tall — z-komponenten — som blant annet brukes til å beregne dreiemoment og areal av parallelogrammer. Egentlig defineres kryssproduktet kun i tre dimensjoner, men vi kan bruke det i to dimensjoner ved å anta at vektorene ligger i xy-planet, og at kryssproduktet peker i z-retning.

Definisjon: Kryssprodukt i 2D

For to vektorer \(\vec{u} = [u_x,\, u_y]\) og \(\vec{v} = [v_x,\, v_y]\) i \(xy\)-planet peker kryssproduktet i \(z\)-retning, med størrelse \[\begin{aligned} |\vec{u}\times\vec{v}| = u_x\,v_y - u_y\,v_x. \end{aligned}\] En ekvivalent definisjon av størrelsen til kryssproduktet er \[\begin{aligned} |\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\sin\theta, \end{aligned}\] der \(\theta\) er vinkelen mellom vektorene.

Fra definisjonen over kan vi observere noen viktige egenskaper:

  • Dersom \(\theta = 0^\circ\) (parallelle vektorer) er kryssproduktet null.

  • Dersom \(\theta = 90^\circ\) (vinkelrette vektorer) er størrelsen maksimal: \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\).

  • Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt: \(\vec{u}\times\vec{v} = -(\vec{v}\times\vec{u})\).

Geometrisk tolkning

Størrelsen på kryssproduktet er lik arealet av parallellogrammet som dannes av de to vektorene. Høyden i parallellogrammet er projeksjonen av \(\vec{A}\) vinkelrett på \(\vec{B}\), gitt ved \(|\vec{A}|\sin\theta\): \[|\vec{A}\times\vec{B}| = |\vec{B}| \cdot |\vec{A}|\sin\theta = \text{Areal av parallellogrammet.}\]

Eksempel 2.14: Kryssprodukt

Finn kryssproduktet av \(\vec{u} = [3,\,4]\) og \(\vec{v} = [1,\,-2]\).

Løsning: \[(\vec{u}\times\vec{v})_z = 3\cdot(-2) - 4\cdot 1 = -6 - 4 = \underline{\underline{-10}}.\] Negativt fortegn betyr at den resulterende vektoren peker i negativ z-retning (inn i siden av arket).

Kryssprodukt

Gitt \(\vec{u} = [2,\,1]\) og \(\vec{v} = [1,\,3]\).

  1. Finn \((\vec{u} \times \vec{v})_z\).

  2. Finn \((\vec{v} \times \vec{u})_z\).