1.3 Å regne med enheter

Kapittel 1: Hva er fysikk?

Grunnen til at det ikke finnes mer enn 7 enheter i SI-systemet er at det finnes lover mellom de forskjellige delene av fysikken som gjør at enkelte enheter kan skrives ved å bruke kombinasjoner av andre, mer fundamentale enheter. Vi trenger ikke en egen enhet for pære, for eksempel. Nei, i stedet sier vi at pære, i likhet med appelsiner, biler og maurslukere, har det vi kaller masse. Og masse er en grunnleggende egenskap i universet, som vi da gir en enhet. Et annet eksempel er fart. Det har heller ikke en egen enhet. I stedet skriver vi ned en matematisk sammenheng for fart, som gjør det mulig å beregne hvilke SI-enheter som trengs for å beskrive fart.

Eksempel 1.2: Enhet for fart

Når vi skal gi et variabel-navn til fart bruker vi ofte bokstaven \(v\) (forkortelse for det engelske velocity). La oss si at faren til en bil er \[v=50\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}=50\,\mathrm{km}\,\mathrm{/}\,\mathrm{h}.\] Her ser vi at enheten for fart, nemlig \(\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\) kan skrives ved hjelp av enhetene for strekning (km) og tid (h, for engelske hour1). Vi trenger altså ikke en egen enhet for fart.

Det vi egentlig gjorde for å finne enheten for fart, er altså at vi brukte en matematisk sammenheng mellom fart, strekning og tid: \(v=s/t\). Det faktum at det finnes sammenhenger og lover mellom forskjellige deler av fysikken, medfører at vi kan regne på enheter, slik som vi regner med tall. Da betrakter vi enhetene som algebraiske størrelser som kan legges sammen, ganges og deles på samme måte som tall. Det er viktig å huske at alle ledd i et uttrykk må ha samme enhet. Her er noen eksempler.

Eksempel 1.3: Sykkel på tog

I forbindelse med en filminnspilling kjører Tom Cruise en motorsykkel ombord et cruisskip. Det er generelt en veldig dårlig idé. Men han gjør det likevel, og crus-skipet har en fart \(v_\textrm{skip}=30\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\). Tom har en fart \(v_\textrm{T}=70\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\) relativ til båten. Både Tom Cruise og cruisskipet kjører rett mot ei kai. Hvor stor fart har Tom i forhold til kaia?

Løsning: For å finne ut dette kan vi legge sammen hastighetene.
Når begge objektene beveger seg i nøyaktig samme retning kan vi legge sammen størrelsene. \[\begin{aligned} 30\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1} + 70\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1} = \underline{\underline{100\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}}} \end{aligned}\]

Eksempel 1.4: Tilbakelagt avstand

En dame på fjelltur går først 4 km mot nord og deretter 3 km mot vest. Hvor langt har hun gått totalt?
Løsning:

Pytagoras læresetning sier at i en rettinklet trekant er:
\[\begin{aligned} \text{hypotenus} = \sqrt{\text{katet}^2 + \text{katet}^2}. \end{aligned}\] 4 km nord og 3 km vest gir derfor: \[\begin{aligned} \text{luftlinje} = \sqrt{(4\,\mathrm{km})^2 + (3\,\mathrm{km})^2} = \sqrt{(4^2 + 3^2)\mathrm{km}^2}=\sqrt{(4^2 + 3^2)}\mathrm{km}= \underline{\underline{5\,\mathrm{km}}} \end{aligned}\]

Eksempel 1.5: Enhetsregning

1) Regn ut hvor mange millimeter det er i 20 meter.
Løsning: For å regne ut dette benytter vi en dekadisk omskriving av meter (mer om dette senere). Merk at \[1\,\mathrm{m}= 10^3\,\mathrm{mm}.\] Dermed har vi \[20\,\mathrm{m}=20\cdot 10^3\,\mathrm{mm} = \underline{\underline{20\,000\,\mathrm{mm}}}.\]

Å kunne regne på enheter er en helt grunnleggende og veldig viktig egenskap når man holder på med fysikk. Det gir en god sjekk på om man har regnet riktig, og det hjelper en å se sammenhenger.

Enhetsregning

  • Man bruker algebra-regler for å regne med enheter.

  • Alle ledd i et uttrykk må ha samme enhet

Enhetsregning

En bil kjører med fart \(v = 90\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\).

  1. Gjør om farten til m/s. Hint: \(1\,\mathrm{km} = 10^3\,\mathrm{m}\) og \(1\,\mathrm{h} = 3600\,\mathrm{s}\).

  2. Kjøreturen varer i \(t = 2.5\,\mathrm{h}\). Finn tilbakelagt strekning i km og i m.

a) Vi regner om ved å bruke at \(1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm{m}\) og \(1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}\): \[v = 90\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1} = \frac{90\cdot 10^3\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}} = \underline{\underline{25\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}}\]

b) Tilbakelagt strekning er fart multiplisert med tid: \[s = v\cdot t = 90\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\cdot2.5\,\mathrm{h} = 225\,\mathrm{km} \approx \underline{\underline{2.3\cdot 10^{2}\,\mathrm{km}}}\] I meter blir dette \[s = 225\,\mathrm{km}\cdot 10^3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{km}} \approx \underline{\underline{2.3\cdot 10^5\,\mathrm{m}}}.\]

Enhetsregning

Tyngdeakselerasjonen på månen er \(\mathrm{g}_\textrm{M} = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\). Gjør om til \(\mathrm{km}\,\mathrm{min}^{-2}\).

Vi skal regne om fra \(\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}\) til \(\mathrm{km}\,\mathrm{min}^{-2}\). Det er lurt å regne om lengdeenhet og tidsenhet hver for seg (se Å regne med enheter i kompendiet).

Lengde: \(1\,\mathrm{m} = 10^{-3}\,\mathrm{km}\).

Tid: \(1\,\mathrm{s} = \tfrac{1}{60}\,\mathrm{min}\), så \(1\,\mathrm{s}^{2} = \tfrac{1}{3600}\,\mathrm{min}^{2}\), altså \(\dfrac{1}{\mathrm{s}^{2}} = 3600\,\dfrac{1}{\mathrm{min}^{2}}\).

Vi setter inn begge omregningene: \[\mathrm{g}_\textrm{M} = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 1.62\cdot 10^{-3}\,\mathrm{km}\cdot 3600\,\mathrm{min}^{-2} = \underline{\underline{5.83\,\mathrm{km}\,\mathrm{min}^{-2}}}\]

Fotnoter

  1. Både \(t\) for time og \(h\) for hour er mye brukte forkortelser. Du står derfor fritt til å velge selv hvilken forkortelse du vil benytte. Merk også at h\(^{-1}\) er det samme som \(1/\)h↩︎